자연계열 5번

이차방정식 $\displaystyle x ^{2}+2x+1=0$의 근은 인수분해를 통해 $\displaystyle x^2 +2x +1=(x+1)^2$이라는 사실로부터 $\displaystyle x=-1$이 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 인수분해가 되지 않는 경우에는 $\displaystyle ax^2 +bx +c =0$의 근의 공식인 $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$을 이용하여 실수 근뿐만 아니라 복소수 근을 구할 수 있다.

이차방정식과 달리 고차방정식의 경우는 인수분해가 되지 않는다면 그 근을 구하는 것이 쉽지 않아 컴퓨터 프로그램를 이용한다. 근을 구하는 원리를 알아보기 위해 함수 $\displaystyle f(x)=a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +a_3 x^3 +a_4 x^4 +a_5 x^5$를 생각해 보자. 물론 $\displaystyle f(x)=0$은 하나의 5차방정식이고 그 실수 근은 xy평면 위의 $\displaystyle y=f(x)$ 곡선이 x축과 만나는 점의 x 값에 해당된다. 실수 근을 구하기 위해 $\displaystyle f(x)$의 일계도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$를 이용하여 다음과 같은 관계식을 이용한다.$\displaystyle f^{\prime}(x_0)=\frac{f(x_0)}{x_0-x_1}\qquad f^{\prime}(x_0)=\frac{f(x_0)}{x_0-x_1}$ (1)여기서 $\displaystyle x_1$은 초기값 $\displaystyle x=x_0$에서의 $\displaystyle f(x)$ 접선의 x절편을 의미한다. 식 (1)을 $\displaystyle x_1$에 관해 풀면 $\displaystyle x_1 =x_0 - \frac{f(x_0 )}{f^{\prime}(x_0 )}$가 된다. 이것을 그래프로 확인하면 다음과 같다.

위 그래프를 보면 식 (1)에서 구한 $\displaystyle x_1$은 근과 완전히 일치하지 않는 것을 볼 수 있다. 만일 식 (1)에 $\displaystyle x_0$값을 $\displaystyle x_1$으로 치환하여 새로운 $\displaystyle x_1$을 구한다면 근에 좀 더 가까울 가능성이 있다. 따라서 식 (1)을 반복적으로 사용하여 결국 고차방정식의 근을 구할 수 있다. 이러한 방법은 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 존재하는 경우라면 다양한 형태의 함수 $\displaystyle f(x)$에 대해서 $\displaystyle f(x)=0$의 근을 구하는데 사용될 수 있다.