자연계열 3번

두 지역 A, B의 부유물 양의 극한값을 각각 $\displaystyle x= \lim _{n \to \infty } {a _{n}}$, $\displaystyle y= \lim _{n \to \infty } {b _{n}}$라고 하였으므로, 두 식 $\displaystyle a _{n+1} = \frac{2}{3} a _{n} + \frac{1}{3} b _{n}$, $\displaystyle b _{n+1} = \frac{1}{3} a _{n} + \frac{2}{3} b _{n}$ 으로부터 $\displaystyle x= \frac{2}{3} x+ \frac{1}{3} y$, $\displaystyle y= \frac{1}{3} x + \frac{2}{3} y$가 성림함을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle x = y$이다.또한, 두 식 $\displaystyle a _{n+1} = \frac{2}{3} a _{n} + \frac{1}{3} b _{n}$, $\displaystyle b _{n+1} = \frac{1}{3} a _{n} + \frac{2}{3} b _{n}$을 합하면, $\displaystyle a _{n+1} +b _{n+1} =a _{n} + b _{n}$($\displaystyle n=1, 2, 3, ...$)이다. 그러므로 $\displaystyle a _{1} =10000$, $\displaystyle b _{1} =70000$으로부터$\displaystyle a _{n} +b _{n} = a _{n-1} +b _{n-1} = \cdots = a _{1 } +b _{1} =80000$ ($\displaystyle n=1, 2, 3, ...$)이 성립함을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle x+y= \lim _{n \to \infty } {(a _{n} +b _{n} )=} 80000$.마지막으로 $\displaystyle x, y$에 관한 두 식 $\displaystyle x = y$, $\displaystyle x+y=80000$으로부터, $\displaystyle x=40000$, $\displaystyle y =40000$임을 알 수 있다.