자연계열 1번

[가] 아래와 같이 두 연속함수 $\displaystyle f, g$의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle S$는 정적분 $\displaystyle \int _{a} ^{b} {(f(x)-g(x)) dx }$를 계산하여 구할 수 있다.

[나] 두 실수 $\displaystyle a<b$에 대하여 함수 $\displaystyle g$가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이라고 가정하자. 또한 미분 가능한 함수 $\displaystyle F$의 도함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이라고 가정하면 다음이 성립한다.1) $\displaystyle \frac d{dx}\int_a^x g(t)\,dt=g(x),\quad a\le x\le b.$2) $\displaystyle \int _{a} ^{b} {f(x)} dx =F(b)-F(a).$

[다] 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 정의된 미분 가능한 함수 $\displaystyle f$의 도함수를 $\displaystyle f^{\prime}$로 놓자. $\displaystyle (a,b)$의 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이면 함수 $\displaystyle f$는 증가한다. 반대로 $\displaystyle (a,b)$의 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f ^{\prime} (x)<0$이면 함수 $\displaystyle f$는 감소한다.