동국대 2014학년도 모의 자연계열 2번 해설

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 아래와 같이 두 연속함수 $\displaystyle f, g$ 의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle S$ 는 정적분 $\displaystyle \int _{a} ^{b} {(f(x)-g(x)) dx }$ 를 계산하여 구할 수 있다.

[나] 두 실수 $\displaystyle a<b$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이라고 가정하자. 또한 미분 가능한 함수 $\displaystyle F$ 의 도함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이라고 가정하면 다음이 성립한다.1) $\displaystyle \frac d{dx}\int_a^x g(t)\,dt=g(x),\quad a\le x\le b.$ 2) $\displaystyle \int _{a} ^{b} {f(x)} dx =F(b)-F(a).$

[다] 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 정의된 미분 가능한 함수 $\displaystyle f$ 의 도함수를 $\displaystyle f^{\prime}$ 로 놓자. $\displaystyle (a,b)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 함수 $\displaystyle f$ 는 증가한다. 반대로 $\displaystyle (a,b)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f ^{\prime} (x)<0$ 이면 함수 $\displaystyle f$ 는 감소한다.

[문제2] 행렬 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}$ 에 대하여 두 집합 $\displaystyle C, D$ 를 다음과 같이 정의하자.

$\displaystyle C=\left\{(x,y):A\begin{pmatrix}x^2\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\}$ , $\displaystyle D=\left\{(x,y):A\begin{pmatrix}a\\a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\ a\text{는 실수}\right\}$

$\displaystyle C, D$ 로 둘러싸인 영역을 좌표평면에 나타내고 그 영역의 넓이를 구하는 과정을 풀이와 함께 제시하시오.

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$\displaystyle \begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^2\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ 이면 $\displaystyle 2x ^{2} -y=0, -4x ^{2} +2y=0$ 이므로 집합 $\displaystyle A$ 는 $\displaystyle y=2x ^{2}$ 의 그래프이다. 실수 $\displaystyle a$ 에 대해 $\displaystyle \begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ 이면 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle y=-2a$ 이므로 집합 $\displaystyle B$ 는 $\displaystyle y=-2x$ 의 그래프이다. 두 그래프가 만나는 점의 좌표를 구하기 위해 $\displaystyle 2x ^{2} =-2x$ 를 풀면 $\displaystyle x=-1, x=0$ 이다. 즉 두 그래프는 $\displaystyle (-1, 2)$ 와 $\displaystyle (0,0)$ 에서 만난다. 좌표평면에 나타내 보면 다음과 같다.Correction. “집합 A”는 “집합 C”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. “집합 B”는 “집합 D”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

포물선 y=2x²과 직선 y=−2x의 교점 (−1,2), (0,0)과 둘러싸인 영역

제시문 [가]에서처럼 두 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle S= \int _{-1} ^{0} {(-2x - 2x ^{2} ) dx=\Biggl[-x ^{2} - \frac{2}{3} x ^{3} \Biggr] _{x=-1} ^{0} = \frac{1}{3}}$ 이다.(넓이) $\displaystyle \frac{1}{3}$

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자연계열 2번

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