자연계열 2번

곡선 $\displaystyle x( \theta )=2 \cos ( \theta )-\cos (2 \theta )$, $\displaystyle y( \theta )=2 \sin ( \theta )-\sin (2 \theta )$이 점 $\displaystyle (0, \frac{3 ^{1/4} (1+ \sqrt {3} )}{\sqrt {2}} )$을 지난다. 그래서 $\displaystyle 0=2 \cos ( \theta )-\cos (2 \theta )=2 \cos ( \theta )-2 \cos ^{2} ( \theta )+1$이고 $\displaystyle \cos ( \theta )= \frac{1± \sqrt {3}}{2}$이다.

그런데 점$\displaystyle (0, \frac{3 ^{1/4} (1+ \sqrt {3} )}{\sqrt {2}} )$을 지날 때, 점 $\displaystyle P$가 2사분면 위의 점이므로 $\displaystyle \cos ( \theta )= \frac{1- \sqrt {3}}{2}$이다.

$\displaystyle \cos ^{2} ( \theta )+\sin ^{2} ( \theta )=1$이므로 $\displaystyle \sin ( \theta )= \frac{3 ^{1/4}}{\sqrt {2}}$이다.

미분을 하면$\displaystyle x ^{\prime} ( \theta )=-2 \sin ( \theta )+2 \sin (2 \theta )=-2 \sin ( \theta )(1-2 \cos ( \theta ))=- \sqrt {2} 3 ^{3/4}$, $\displaystyle y ^{\prime} ( \theta )=2 \cos ( \theta )-2 \cos (2 \theta )=2 \cos ( \theta )-2(1-2 \sin ^{2} ( \theta ))= \sqrt {3} -1$

이므로 기울기 $\displaystyle m= \frac{y ^{\prime} ( \theta )}{x ^{\prime} ( \theta )} = \frac{1- \sqrt {3}}{\sqrt {2} 3 ^{3/4}}$이다. 따라서 답은 $\displaystyle 3 ^{3/4} \sqrt {2} m=1- \sqrt {3}$이다.

$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OP}}} =((R+r)\cos ( \theta ), (R+r)\sin ( \theta ))=(4r \cos ( \theta ), 4r \sin ( \theta ))$이고

$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OP}}}$가 $\displaystyle \theta$만큼 회전하면 작은 원은 $\displaystyle \frac{R \theta }{r}$만큼 회전한다. $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{PM}}}$의 위치벡터가 양의 $\displaystyle x$축과 이루는 각을 구하면 $\displaystyle \pi + \frac{(R+r) \theta }{r} = \pi +4 \theta$이다.그래서 $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{PM}}} =(r \cos ( \pi +4 \theta ), r \sin ( \pi +4 \theta ))=(-r \cos ( \theta ), -r \sin ( \theta ))$이고Correction. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PM}}$의 마지막 좌표 $\displaystyle (-r\cos\theta,-r\sin\theta)$는 $\displaystyle (-r\cos4\theta,-r\sin4\theta)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OM}}} = {\overrightarrow{\mathrm{OP}}} + {\overrightarrow{\mathrm{PM}}} =(4r \cos ( \theta )-r \cos (4 \theta ), 4r \sin ( \theta ) - r \sin (4 \theta ))$이다.

$\displaystyle x( \theta )=4r \cos ( \theta )-r \cos (4 \theta )$, $\displaystyle y( \theta )= 4r \sin ( \theta ) - r \sin (4 \theta )$를 각각 미분하면$\displaystyle x^{\prime}( \theta )=-4r( \sin ( \theta )-\sin (4 \theta ))$, $\displaystyle y^{\prime}( \theta )= 4r (\cos ( \theta ) - \cos (4 \theta ))$이다. 따라서$\displaystyle \sqrt {x ^{\prime} ( \theta ) ^{2} +y ^{\prime} ( \theta ) ^{2}} =4r(2-2 \cos (3 \theta )) ^{1/2} =4r(4 \sin ^{2} ( \frac{3 \theta }{2} )) ^{1/2} =8r \left | \sin ( \frac{3 \theta }{2} ) \right |$이다.

따라서 구하는 곡선의 길이는 $\displaystyle L= \int _{0} ^{2 \pi } {\sqrt {x ^{\prime} ( \theta ) ^{2} +y ^{\prime} ( \theta ) ^{2}} d \theta }$이므로$\displaystyle L= \int _{0} ^{2 \pi } {8r \left | \sin ( \frac{3 \theta }{2} ) \right | d \theta } =3 \int _{0} ^{2 \pi /3} {8r \sin ( \frac{3 \theta }{2} ) d \theta }$이다. 정적분을 계산하면$\displaystyle L=24r \int _{0} ^{2 \pi /3} { \sin ( \frac{3 \theta }{2} ) d \theta } = \Biggl[ -16r \cos ( \frac{3 \theta }{2} ) \Biggr] _{0}^{2 \pi /3} =32r$ 이다.