자연계열 3번

$\displaystyle \cos x + \sin x = \sqrt {2} \cos (x- \frac{\pi }{4} )= \sqrt {2} \sin (x+ \frac{\pi }{4} )$이므로$\displaystyle \sqrt {2} \le 2 \sqrt {2} +\cos x + \sin x \le 3 \sqrt {2}$이다. 따라서 역수를 취하고 $\displaystyle \sqrt {2}$를 곱하면, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle \frac{1}{3} \le \frac{\sqrt {2}}{2 \sqrt {2} +\cos x + \sin x} \le 1$

를 만족한다. 따라서 $\displaystyle \frac{1}{3} \le s ^{\prime} (t) = \frac{\sqrt {2}}{2 \sqrt {2} +\cos t + \sin t} \le 1$이다. $\displaystyle t>0$이면$\displaystyle \frac{s(t)-s(0)}{t-0} =s^{\prime}(t _{0} )$인 $\displaystyle t _{0}$가 존재한다. 따라서 $\displaystyle \frac{1}{3} \le \frac{s(t)-s(0)}{t-0} = \frac{s(t)}{t} \le 1$이므로 $\displaystyle \frac{t}{3} \le s(t) \le t$이다.

마지막으로 $\displaystyle h(t) = s(t) - s _{2} (t)=s(t)-(10+ \frac{1}{6} t)$라고 놓으면,$\displaystyle h(12) = s(12)-s _{2} (12) \le 12-s _{2} (12)=0$이다. 즉, $\displaystyle h(12) \le 0$.$\displaystyle h(60)=s(60)-(10+ \frac{1}{6} \times 60) \ge \frac{1}{3} \times 60-20=0$이다. 즉, $\displaystyle h(60) \ge 0$이다. $\displaystyle h(t)$는 연속함수이므로 사잇값의 정리에 의해 $\displaystyle h(t)=0$인 $\displaystyle t$가 적어도 하나 존재한다.