자연계열 3번

동국대 2019학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2019mo/jayeon_3

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 사잇값 정리함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(a) \ne f(b)$ 일 때, $\displaystyle f(a)$ 와 $\displaystyle f(b)$ 사이의 임의의 실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle f(c)=k$ 인 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.- 『미적분 I』

[나] 평균값 정리함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (a, b)$ 에서 미분가능하면 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} =f^{\prime}(c)$ 인 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.-『미적분 I』

[다] 미적분의 기본 정리닫힌 구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라 하면, $\displaystyle \int _{a} ^{b} {f(x) dx = } \Biggl[ F(x) \Biggr] _{a}^{b} =F(b)- F(a)$ -『미적분 I』

[문제3] 시간 $\displaystyle t$ 일 때 수직선 위를 움직이는 점 A의 위치를 $\displaystyle s(t)$ 라고 하자. 미분가능한 함수 $\displaystyle s(t)$ 는 $\displaystyle s(t) = \int _{0} ^{t} { \frac{\sqrt {2}}{2 \sqrt {2} +\cos x+\sin x} dx}$ 를 만족한다. (단, $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle t \ge 0$ 를 만족한다.)

모든 $\displaystyle t \ge 0$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{3} \le s^{\prime}(t) \le 1$ 임을 보이고, [나]를 이용하여 $\displaystyle \frac{t}{3} \le s(t) \le t$ 임을 보이시오. 그리고 점 B의 위치가 $\displaystyle s _{2} (t)=10+ \frac{1}{6} t$ 이면, $\displaystyle s(t)-s _{2} (t)=0$ 인 시간 $\displaystyle t$ 가 적어도 한 번 있음을 보이시오.

해설강의 준비중

동국대 2019학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2019mo/jayeon_3

1단계 · 부등식을 증명한다.

$\displaystyle \cos x + \sin x = \sqrt {2} \cos (x- \frac{\pi }{4} )= \sqrt {2} \sin (x+ \frac{\pi }{4} )$ 이므로 $\displaystyle \sqrt {2} \le 2 \sqrt {2} +\cos x + \sin x \le 3 \sqrt {2}$ 이다. 따라서 역수를 취하고 $\displaystyle \sqrt {2}$ 를 곱하면, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{3} \le \frac{\sqrt {2}}{2 \sqrt {2} +\cos x + \sin x} \le 1$ 를 만족한다.

2단계 · 미분하여 도함수의 범위를 보인다.

따라서 $\displaystyle \frac{1}{3} \le s ^{\prime} (t) = \frac{\sqrt {2}}{2 \sqrt {2} +\cos t + \sin t} \le 1$ 이다.

3단계 · 평균값의 정리를 이용한다.

$\displaystyle t>0$ 이면 $\displaystyle \frac{s(t)-s(0)}{t-0} =s^{\prime}(t _{0} )$ 인 $\displaystyle t _{0}$ 가 존재한다. 따라서 $\displaystyle \frac{1}{3} \le \frac{s(t)-s(0)}{t-0} = \frac{s(t)}{t} \le 1$ 이므로 $\displaystyle \frac{t}{3} \le s(t) \le t$ 이다.

4단계 · 두 점에서 함수값의 부호를 확인한다.

마지막으로 $\displaystyle h(t) = s(t) - s _{2} (t)=s(t)-(10+ \frac{1}{6} t)$ 라고 놓으면, $\displaystyle h(12) = s(12)-s _{2} (12) \le 12-s _{2} (12)=0$ 이다. 즉, $\displaystyle h(12) \le 0$ . $\displaystyle h(60)=s(60)-(10+ \frac{1}{6} \times 60) \ge \frac{1}{3} \times 60-20=0$ 이다. 즉, $\displaystyle h(60) \ge 0$ 이다.

5단계 · 사잇값의 정리를 이용하여 해의 존재를 기술한다.

$\displaystyle h(t)$ 는 연속함수이므로 사잇값의 정리에 의해 $\displaystyle h(t)=0$ 인 $\displaystyle t$ 가 적어도 하나 존재한다.

	채점 기준	배점
상	(1단계)-(5단계)를 모두 보이고, 논증이 매끄러운 경우	S
상	(1단계)-(5단계)를 모두 보였으나 논증에 약간의 오류가 있는 경우	A
중	(1단계)-(3단계)를 모두 보인 경우 또는 (4단계)-(5단계)를 모두 보인경우	B
중	(1단계)-(2단계)를 모두 보인경우	C
중	위 단계중 1가지를 오류 없이 보인경우	D
하	위 단계중 1개를 보였으나 논증에 오류가 있는 경우	E
하	아무 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

Correction. 해설의 채점기준에 적힌 문항 배점 40점은 35점의 오기이다. 문제지의 배점은 35점이며, 문제지 전체 배점의 합은 100점이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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