자연계열 2번

두 개의 주사위 중에 윤목을 선택하는 사건은 A라 하고, 던진 주사위의 값이 2인 사건을 B라 표시한다. 주사위의 각 값이 나올 확률은, 목제주령구는 1에서 14까지 윤목은 1에서 5까지의 값이 각각 1/14과 1/5이다. 따라서 사건 A와 B를 이용하여 윤목에서의 주사위 값이 2, 목제주령구에서 2가 나올 확률을 표기하면 각각 $\displaystyle P(B|A)=\frac15,\quad P(B|A^c)=\frac1{14}$이 된다.

또한 주사위 값이 2일 확률 $\displaystyle P(B)$는 확률의 합의 공식과 조건부확률을 이용하면 $\displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P(A^c\cap B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)$이 된다.

윤목을 던질 확률을 $\displaystyle P(A)=p$라고 하면, 주사위 값이 2일 때 윤목을 선택할 조건부 확률은 $\displaystyle P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{p/5}{p/5+(1-p)/14}=\left(\frac9{14}+\frac5{14p}\right)^{-1}$이다.

첫 날 100명을 대상으로 진행한 실험에서 윤목을 던질 (통계적) 확률 $\displaystyle p$는 $\displaystyle \frac{30}{100}=0.3$이 되어 $\displaystyle P(A|B)=\frac{42}{77}=\frac6{11}$가 된다.여기에 추가 10명의 실험에선 적어도 6명이 윤목을 선택했으므로 전체 110명에서 윤목을 던질 (통계적) 확률 $\displaystyle p$는 적어도 $\displaystyle \frac{30+6}{100+10}=\frac{36}{110}$으로 0.3보다 크게 된다.

따라서 $\displaystyle P(A |B)$는 $\displaystyle p$의 증가함수이므로 110명에서의 $\displaystyle P(A |B)$도 100명에서의 $\displaystyle \frac{42}{77} = \frac{6}{11}$보다 큰 값을 갖게 된다. 즉 추가된 윤목을 더 선택하는 경향이 있는 집단으로부터 추출된 10명의 실험결과에 의해서 주사위 값이 2인 사람이 윤목을 선택할 확률 $\displaystyle P(A |B)$가 증가되는 자가 수정이 이루어졌다.