자연계열 3번

식 (2)를$\displaystyle \frac{L^{\prime}(t)}{L(t)(N-L(t))} =k$와 같이 변형하고, 양변을 부정적분하면$\displaystyle \int {\frac{L ^{\prime} (t)}{L(t)(N-L(t))} dt = kt + C _{1}}$

이다. 제시문 바를 이용하여 좌변을 부분분수 형태로 바꾸고, $\displaystyle \tau =L(t)$로 치환하여 치환적분을 하면Correction. “제시문 바”는 “제시문 다”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}\int\frac{L^{\prime}(t)}{L(t)(N-L(t))}dt&=\frac1N\int\left(\frac{L^{\prime}(t)}{L(t)}+\frac{L^{\prime}(t)}{N-L(t)}\right)dt\\&=\frac1N\int\left(\frac1\tau+\frac1{N-\tau}\right)d\tau=\frac1N\ln\left|\frac\tau{N-\tau}\right|+C_2=\frac1N\ln\left|\frac{L(t)}{N-L(t)}\right|+C_2\end{aligned}$

이다. $\displaystyle 0<L(t)<N$ 임을 이용하고, $\displaystyle L(0)=1$을 대입하면 $\displaystyle C _{1} -C _{2} =- \frac{\ln (N-1)}{N}$이다.

위의 식에 넣어서 정리하면$\displaystyle \frac{L(t)}{N-L(t)} =e ^{-\ln (N-1)} e ^{Nkt} = \frac{e ^{Nkt}}{N-1}$그러므로$\displaystyle L(t)= \frac{N e ^{Nkt}}{N-1+e ^{Nkt}} = \frac{N}{1+(N-1)e ^{-Nkt}}$이다,

$\displaystyle \lim_{t\to\infty}L(t)=\lim_{t\to\infty}\frac N{1+(N-1)e^{-Nkt}}=N$이므로 $\displaystyle t$가 무한대로 가면 $\displaystyle L(t)$가 $\displaystyle N$으로 수렴한다. 미분을 계산하면

$\displaystyle L ^{\prime} (t) = \frac{kN ^{2} (N-1)e ^{-Nkt}}{(1+(N-1)e ^{-Nkt} ) ^{2}} .$$\displaystyle L^{\prime}(t)$는 양수이므로 $\displaystyle L(t)$는 증가함수이다. 따라서, $\displaystyle L(t)$의 개형은 아래 왼쪽과 같고, $\displaystyle P(t)$는 지수함수이므로 개형은 아래 오른쪽과 같다.

지수 증가 방정식의 해 $\displaystyle P(t)$는 $\displaystyle t$가 무한대로 갈 때 증가율이 기하급수적으로 늘어나서 발산하나, 로지스틱 방정식의 해 $\displaystyle L(t)$는 $\displaystyle t$가 무한대로 갈 때 증가율이 줄어들어서 $\displaystyle N$으로 수렴한다. 따라서, 시간이 커질 때 인구증가율이 정체됨을 잘 설명하는 것은 로지스틱 방정식이다.