자연계열 2번

[문제 1]점 $\displaystyle C$ 를 원점으로, 바닥을 $\displaystyle x$축으로 잡으면, 점 $\displaystyle B$ 의 좌표는 $\displaystyle (x,y)=(\overline{CD},\overline{BD})=(2\sqrt{Rt},t)$ 이다. ($\displaystyle \overline{BD}=t$ 이고, 피타고라스의 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{CD}=\sqrt{\overline{AB}^{2}-(\overline{AC}-\overline{BD})^{2}}=\sqrt{(R+t)^2-(R-t)^2}=2\sqrt{Rt}$ 이다.) $\displaystyle x^2=(2\sqrt{Rt})^2=4Rt=4Ry$, 즉 $\displaystyle x^2=4Ry$ 이므로, 점 $\displaystyle B$ 의 자취는 포물선을 이룬다.

[문제 2]$\displaystyle \overline{AB}=R+t$, $\displaystyle \overline{CD}=2\sqrt{R}\sqrt{t}$ 이므로,$\displaystyle \frac{d}{dt}\overline{AB}=\frac{d}{dt}(R+t)=1$, $\displaystyle \frac{d}{dt}\overline{CD}=\frac{d}{dt}(2\sqrt{R}\sqrt{t})=\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{t}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{t}}=1$, 즉 $\displaystyle t=R$ 이므로, 주어진 조건을 만족하는 시각은 $\displaystyle R$ 이다.

[문제 3]점 $\displaystyle P$ 는 원1의 원호를 따라서 움직이므로, 속력은 원호의 길이 $\displaystyle \widehat{CP}$ 의 미분이다. $\displaystyle \theta=\angle PAC$ 로 놓으면 $\displaystyle \widehat{CP}=R\theta$ 이므로, $\displaystyle \frac{d}{dt}\widehat{CP}=\frac{d}{dt}(R\theta)=R\frac{d\theta}{dt}$ 이다. 여기서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{R-t}{R+t}$ 이므로, 이 식의 양변을 $\displaystyle t$ 로 미분하면$\displaystyle \frac{d}{dt}\cos\theta=-\sin\theta\cdot\frac{d\theta}{dt}=-\frac{2R}{(R+t)^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{R-t}{R+t}\right)$,$\displaystyle \Leftrightarrow\ \frac{d\theta}{dt}=\frac{2R}{(R+t)^2\sin\theta}=\frac{2R}{(R+t)^2}\cdot\frac1{\frac{\overline{CD}}{\overline{AB}}}=\frac{2R}{(R+t)^2}\cdot\frac{R+t}{2\sqrt{R}\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{R}}{(R+t)\sqrt{t}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{d}{dt}\widehat{CP}=R\frac{d\theta}{dt}=\frac{R\sqrt{R}}{(R+t)\sqrt{t}}$ 이 되고, $\displaystyle \frac{d}{dt}\widehat{CP}=\frac{R\sqrt{R}}{(R+t)\sqrt{t}}=\frac12$ 을 풀면 $\displaystyle t=R$ 을 얻는다.