자연계열 2번

[문항1]삼각형 $\displaystyle \triangle OAP$가 직각삼각형이고 $\displaystyle \overline{OA}=1$, $\displaystyle \overline{OP}=t$이므로, 피타고라스의 정리를 이용하면 고무줄의 길이는$\displaystyle f(t)=\overline{AP}=\sqrt{(\overline{OA})^2+(\overline{OP})^2}=\sqrt{t^2+1}$이다.고무줄의 길이의 순간변화율은$\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{d}{dt}(\sqrt{t^2+1})=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$이고, 따라서 시각 $\displaystyle t=1$초일 때 고무줄의 길이의 순간변화율은$\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac1{\sqrt{1^2+1}}=\frac1{\sqrt2}$.

[문항2]$\displaystyle \overline{OP}=t$, $\displaystyle \overline{AP}=\sqrt{t^2+1}$ 이므로, 각 $\displaystyle \theta=\angle OPA$의 코사인값은$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}=\frac t{\sqrt{t^2+1}}$이다. 따라서 $\displaystyle u=t^2+1$, $\displaystyle du=2t\,dt$ 의 치환을 이용하면$\displaystyle \int_0^1\cos\theta\,dt=\int_0^1\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\,dt=\frac12\int_1^2\frac1{\sqrt u}\,du=\frac12\Biggl[2\sqrt u\Biggr]_1^2=\sqrt2-1$.

[문항3]문제1의 결과를 이용하면, 힘 $\displaystyle \vec F=(F_1,F_2)$ 의 크기는$\displaystyle |\vec F|=2\{f(t)-1\}=2(\sqrt{t^2+1}-1)$이고, 그 방향은 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{PA}=(0,1)-(t,0)=(-t,1)$ 과 같다. 삼각형의 비례를 이용하면 (그림 참조)$\displaystyle |\vec F|:\overline{AP}=|F_1|:\overline{OP}=F_2:\overline{OA}$,즉$\displaystyle 2(\sqrt{t^2+1}-1):\sqrt{t^2+1}=-F_1:t=F_2:1$이므로, 벡터 $\displaystyle \vec F$의 $\displaystyle x$성분 $\displaystyle F_1$, $\displaystyle y$성분 $\displaystyle F_2$는 각각$\displaystyle \begin{aligned}F_1&=-\frac{t\cdot2(\sqrt{t^2+1}-1)}{\sqrt{t^2+1}}=-2t+\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\\F_2&=\frac{1\cdot2(\sqrt{t^2+1}-1)}{\sqrt{t^2+1}}=2-\frac2{\sqrt{t^2+1}}.\end{aligned}$