자연계열 2번

덕성여대 2018학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2018su/jayeon_2

다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오.

(1) <그림 1>과 같이 폭이 100m인 강이 있고, 강물이 오른쪽에서 왼쪽으로 1m/s의 속력으로 흐르고 있다. 위치 $\displaystyle A$ 에 최대 속력이 4m/s인 보트가 놓여 있다. 이 보트가 최대 속력으로 위치 $\displaystyle B$ 를 향해 일직선으로 가려고 한다. <그림 1>에 제시된 보트의 속도를 $\displaystyle \vec v=(a,b)$ 라 하자.

(2) <그림 2>처럼 보트가 $\displaystyle A,B$ 사이의 거리의 반을 지나는 순간부터 강물의 흐름이 갑자기 멈추었다. 그러나 보트는 변함없이 같은 속도 $\displaystyle \vec v=(a,b)$ 로 이동하여 위치 $\displaystyle B^{\prime}$ 에 도달했다.

[문제 2-1](1) 에서 $\displaystyle \vec v=(a,b)$ 를 풀이와 함께 구하시오.[34점]

[문제 2-2]<그림 2>에서 목적지 $\displaystyle B$ 와 도착지 $\displaystyle B^{\prime}$ 사이의 거리 $\displaystyle d$ 를 풀이와 함께 구하시오.[33점]

[문제 2-3]<그림 2>에서 $\displaystyle \angle BCB^{\prime}=\theta$ 에 대하여 $\displaystyle \cos\theta$ 를 풀이와 함께 구하고, 이를 이용하여 $\displaystyle \tan\theta$ 를 풀이와 함께 구하시오.[33점]

해설강의 준비중

덕성여대 2018학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2018su/jayeon_2

① · 두 벡터가 평행이라는 사실을 제시하는 경우 ((1)의 이유를 제시)

[문제 2-1] $\displaystyle \vec v=(a,b)$ 에 관한 첫 번째 식은 보트의 속도와 강물의 속도의 합 벡터가 $\displaystyle \overrightarrow{AB}=(100,100)$ 과 평행이라는 사실에서 얻을 수 있다. 즉, $\displaystyle (a,b)+(-1,0)=(a-1,b)$ 이 $\displaystyle (1,1)$ ²⁾과 평행이므로,

② · 식 (1)을 얻어내는 경우

$\displaystyle a-1=b$ -------------------------(1)를 만족한다.

③ · 벡터의 속력이 4m/s 라는 조건을 제시하는 경우 ((2)의 이유를 제시)

$\displaystyle \vec v=(a,b)$ 에 관한 두 번째 식은 보트가 최대 속력 4m/s로 이동한다는 조건에서 얻을 수 있다. 즉, $\displaystyle |\vec v|=\sqrt{a^2+b^2}=4$ 이므로

④ · 식 (2)를 얻어내는 경우

$\displaystyle a^2+b^2=16$ --------------------------(2)을 만족한다.

이제 (1)과 (2)를 연립하여 $\displaystyle \vec v=(a,b)$ 를 계산해 보자. (1)을 (2)에 대입하면 $\displaystyle a^2+(a-1)^2=16$ 을 얻을 수 있다. 이를 전개하면 $\displaystyle 2a^2-2a-15=0$ -----------------------(3)이다. 이차방정식의 근의 공식에 의해 $\displaystyle a=\frac{1\pm\sqrt{31}}2$ -----------------------(4)이다. 그리고 $\displaystyle a>0$ 이므로 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{31}}2$ -----------------------(5)이다. 이를 (1)에 대입하면 $\displaystyle b=a-1=\frac{-1+\sqrt{31}}2$ ------------------(6)을 얻을 수 있다. 결론적으로 $\displaystyle \vec v=(a,b)=\left(\frac{\sqrt{31}+1}2,\frac{\sqrt{31}-1}2\right)$ ----------------(7)이다.

2) $\displaystyle (1,1)$ 대신에 $\displaystyle (100,100)$ 을 이용해도 무방하다.

① · 벡터

\displaystyle \overrightarrow{CB^{\prime}}

와 보트의 속도

\displaystyle \vec v

가 평행함을 제시하는 경우

[문제 2-2]강의 중간 지점을 $\displaystyle C$ 라 하면 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{CB^{\prime}}$ 과 보트의 속도 $\displaystyle \vec v$ 는 평행하다.

② ·

\displaystyle \overrightarrow{CB^{\prime}}=(d+50,50)

을 계산하는 경우

$\displaystyle \overrightarrow{CB^{\prime}}=(d+50,50)$ 이고 $\displaystyle \vec v=\left(\frac{\sqrt{31}+1}2,\frac{\sqrt{31}-1}2\right)$ 이므로, 비례식을 이용하면 $\displaystyle (d+50):50=\frac{\sqrt{31}+1}2:\frac{\sqrt{31}-1}2$ ---------------(8)을 만족한다. 그러므로 $\displaystyle (\sqrt{31}-1)(d+50)=(\sqrt{31}+1)50$ ---------------(9)이고, 계산하면 $\displaystyle d=\frac{100}{\sqrt{31}-1}$ 이므로 $\displaystyle d=\frac{10}3(\sqrt{31}+1)$ -----------(10)이다.

① ·

\displaystyle \cos\theta

에 대한 식인 (11)을 제시하는 경우

[문제 2-3]각 $\displaystyle \angle BCB^{\prime}=\theta$ 는 두 벡터 $\displaystyle \vec v$ 와 $\displaystyle (1,1)$ 사이의 각이다.³⁾ 그러므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec v\cdot(1,1)}{|\vec v||(1,1)|}$ -------------------(11)이다.

② ·

\displaystyle \vec v\cdot(1,1)=\sqrt{31}

또는

\displaystyle \vec v\cdot(100,100)=100\sqrt{31}

를 계산하는 경우

$\displaystyle |\vec v|=4,|(1,1)|=\sqrt2$ 이고, 또한 $\displaystyle \vec v\cdot(1,1)=\left(\frac{\sqrt{31}+1}2,\frac{\sqrt{31}-1}2\right)\cdot(1,1)=\sqrt{31}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{31}}{4\sqrt2}$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{62}}8$ -------------(12) 이다.

3) $\displaystyle (1,1)$ 대신에 $\displaystyle (100,100)$ 을 이용한 풀이도 가능하다. 그 풀이는 박스 안에 정리하였다.

이제 $\displaystyle \tan\theta$ 를 구해보자. 아래 두 가지 방법이 가능하다.

<방법 1> $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{62}}8$ 인 직각삼각형을 그려보면

이다. 그러므로 $\displaystyle \tan\theta=\frac{\sqrt2}{\sqrt{62}}=\frac1{\sqrt{31}}=\frac{\sqrt{31}}{31}$ 이다.

문항	등급	채점 기준	배점
2-1	A+	a, b의 값을 계산하기까지의 과정이 옳고, 풀이를 문장으로 조리 있게 설명함	34
2-1	A	a, b의 값을 구함 (즉, (5), (6)을 얻어냄)	34
2-1	B+	a의 값을 구함 (즉, (5)를 얻어냄)	34
2-1	B	(3)을 얻어냄	34
2-1	C	①, ②, ③, ④ 를 모두 기재	34
2-1	D	①, ②, ③, ④ 중 2개를 기재	34
2-1	E	문제의 의미를 알지 못함	34
2-2	A+	d를 계산하기까지의 과정이 옳고, 풀이를 문장으로 조리 있게 설명하는 경우	33
2-2	A	d를 계산하는 경우 (즉, (10)을 얻어내는 경우)	33
2-2	B+	d에 관한 식을 올바르게 계산하는 경우 (즉 (8),(9)과 같거나 유사한 식을 얻어냄)	33
2-2	B	①, ②를 모두 기재하고, 풀이를 문장으로 조리 있게 설명하는 경우	33
2-2	C	①, ②를 모두 기재	33
2-2	D	①, ② 중 1개를 기재	33
2-2	E	문제의 의미를 알지 못하는 경우	33
2-3	A+	$\displaystyle \tan\theta$ 를 계산하고, 풀이를 문장으로 조리 있게 설명함	33
2-3	A	$\displaystyle \tan\theta$ 를 계산하는 경우	33
2-3	B+	$\displaystyle \cos\theta$ 를 계산하기까지의 과정이 옳고, 풀이를 문장으로 조리 있게 설명함	33
2-3	B	$\displaystyle \cos\theta$ 를 계산하는 경우 (즉 (12)를 얻어내는 경우)	33
2-3	C	①, ②를 모두 기재	33
2-3	D	①, ② 중 1개를 기재	33
2-3	E	문제의 의미를 알지 못하는 경우	33

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