자연계열 3번

[문제 3-1]확률변수 $\displaystyle Y$를 주머니 속 구슬에 적힌 숫자라 하고 $\displaystyle P(Y=y)$를 확률변수 $\displaystyle Y$가 어떤 값 $\displaystyle y$를 가질 확률이라고 하자. 주머니 속 30개의 구슬 중 숫자 1, 2, 3이 적힌 구슬의 갯수가 각각 $\displaystyle l$, $\displaystyle m$, 10이므로 $\displaystyle P(Y=1)=\frac l{30}$, $\displaystyle P(Y=2)=\frac m{30}$, $\displaystyle P(Y=3)=\frac{10}{30}$이 되고 이를 정리하면 $\displaystyle Y$의 확률분포는 다음과 같다.

여기서 $\displaystyle p=\frac l{30}$, $\displaystyle q=\frac m{30}$이고 $\displaystyle p+q=\frac23$을 만족한다.

임의추출된 $\displaystyle a,b,c$에 의해 만들어진 이차방정식 $\displaystyle ax^2+2bx+c=0$이 중근을 가지는 경우는 판별식 $\displaystyle D=b^2-ac$가 0이 되어야 하므로 $\displaystyle b^2=ac$가 되는 경우들이다. 즉, $\displaystyle b=1$인 경우에는 $\displaystyle a=1$과 $\displaystyle c=1$이어야 하며, $\displaystyle b=2$인 경우에는 $\displaystyle a=2$와 $\displaystyle c=2$가 추출되어야 하고, $\displaystyle b=3$인 경우에는 $\displaystyle a=3$과 $\displaystyle c=3$이 추출되는 경우만이 이에 해당된다. 그러므로 $\displaystyle a,b,c$가 모두 1이거나, 모두 2이거나 혹은 모두 3이면 이차방정식 $\displaystyle ax^2+2bx+c=0$이 중근을 가진다.

한편, 3개의 구슬을 복원추출로 임의추출할 경우 각각의 추출은 독립시행이므로 위 <표 1>의 확률분포표를 이용하면 $\displaystyle a,b,c$가 모두 1이 될 확률은 $\displaystyle p^3$, 모두 2가 될 확률은 $\displaystyle q^3$, 그리고 모두 3이 될 확률은 $\displaystyle \left(\frac13\right)^3$이 된다. 그러므로 이차방정식 $\displaystyle ax^2+2bx+c=0$이 중근을 가질 확률은 $\displaystyle p^3+q^3+\left(\frac13\right)^3$이 되며, 이 확률은 $\displaystyle p+q=\frac23$의 관계에 의해서 $\displaystyle p^3+\left(\frac23-p\right)^3+\frac1{27}$된다. 이 확률은$\displaystyle \begin{aligned}&p^3+\left(\frac23-p\right)^3+\frac1{27}\\&=p^3+\frac8{27}-3\times\frac49p+3\times\frac23p^2-p^3+\frac1{27}\\&=2p^2-\frac43p+\frac13\\&=2\left(p-\frac13\right)^2+\frac19\end{aligned}$ ----------(1)이 된다. 여기서 $\displaystyle 0\leq p\leq\frac23$이다. 그러므로 $\displaystyle p=\frac13$이 될 때 이차방정식이 중근을 가질 확률이 최소가 되다. 따라서 $\displaystyle p+q=\frac23$이므로 $\displaystyle q=\frac13$이며, 이 때 1과 2가 적힌 구슬의 각각의 갯수는 $\displaystyle l=m=10$이 된다.

[문제 3-2]복원추출로 3개의 구슬을 임의추출하여 만든 이차방정식 $\displaystyle ax^2+2bx+c=0$이 중근을 가지는 경우는 [문제 3-1]의 모범답안에서 설명하였듯이 $\displaystyle a,b,c$가 모두 1이거나, 모두 2이거나 혹은 모두가 3인 경우이다. 또한, [문제 3-1]의 결과에 의하면 세 숫자의 갯수는 $\displaystyle l=m=n=10$이다. 따라서, 이차방정식 $\displaystyle ax^2+2bx+c=0$이 중근을 가지는 경우의 확률은 [문제 3-1]의 식 (1)의 결과에 의해 $\displaystyle \frac19$이다.

한편, 제시문 (2)에 설명된 시행의 횟수로 정의된 확률변수 $\displaystyle X$는 $\displaystyle 1,2,\cdots,10$을 가질 수 있다. $\displaystyle P(X=k)$를 확률변수 $\displaystyle X$가 어떤 값 $\displaystyle k$를 가질 확률이라 하면, 10보다 작은 자연수 $\displaystyle k$에 대하여, $\displaystyle (k-1)$번 시행까지는 추출된 $\displaystyle (a,b,c)$가 중근을 만들지 못하고 $\displaystyle k$번 시행에서 추출된 $\displaystyle (a,b,c)$가 중근을 만들기 때문에 다음과 같이 $\displaystyle P(X=k)$가 구해진다.$\displaystyle P(X=1)=\frac19$, $\displaystyle P(X=2)=\frac89\times\frac19$, ----------(2)$\displaystyle P(X=3)=\left(\frac89\right)^2\times\frac19,\cdots$, $\displaystyle P(X=9)=\left(\frac89\right)^8\times\frac19$ ----------(3)

10번째까지 시행을 한 경우의 확률은 10번째 시행에서 추출된 $\displaystyle a,b,c$가 중근을 만들 확률과 10번째 시행까지 만들어진 $\displaystyle a,b,c$ 모두가 중근을 만들지 못할 확률을 더해준 것으로 다음과 같다.$\displaystyle P(X=10)=\left(\frac89\right)^9\times\frac19+\left(\frac89\right)^{10}=\left(\frac89\right)^9$ ----------(4)

그러므로, 식 (2), (3)과 (4)을 종합해보면 확률변수 $\displaystyle X$의 확률질량함수는 다음과 같이 된다.$\displaystyle P(X=k)=\begin{cases}\left(\frac89\right)^{k-1}\times\left(\frac19\right),&(k=1,2,\cdots,9)\\\left(\frac89\right)^9,&(k=10)\end{cases}$. ----------(5)

[문제 3-3]중근이 나올 때까지 시행횟수가 $\displaystyle k$보다 클 확률을 구해보자. 만약 $\displaystyle k<10$이라 하면, [문제 3-2]의 식 (5)에 있는 $\displaystyle X$의 확률질량함수를 이용하여 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}P(X>k)&=1-P(X\leq k)\\&=1-\frac19\left(\frac{1-\left(\frac89\right)^k}{1-\frac89}\right)\\&=\left(\frac89\right)^k\end{aligned}$ ----------(6)이다. 그러므로 $\displaystyle P(X>k)=\left(\frac89\right)^k<0.5$을 계산하기 위하여 양변에 상용로그를 취하면 $\displaystyle k(\log8-\log9)<\log0.5$가 된다. 따라서$\displaystyle k(\log8-\log9)<\log0.5$$\displaystyle k(3\log2-2\log3)<-\log2$$\displaystyle k>\frac{\log2}{2\log3-3\log2}=\frac{0.30}{2\times0.48-3\times0.30}=\frac{0.30}{0.06}=5$ ----------(7)가 성립한다. 구하는 최소의 자연수 $\displaystyle k$는 6이 된다.