자연계열 II 2번

[문제 2-2]$\displaystyle t<0$이면 곡선 $\displaystyle y=-(x-t)^2+f(t)$과 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 만나는 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 이차방정식 $\displaystyle -(x-t)^2+at^2=ax^2$의 두 실근이므로 이차방정식을 정리하여 풀면 $\displaystyle (a+1)x^2-2tx+t^2-at^2=0$에서$\displaystyle x=t$ 또는 $\displaystyle x=\frac{1-a}{1+a}t\qquad(7)$이때 $\displaystyle t<0$, $\displaystyle 0<a<1$이므로$\displaystyle t<\frac{1-a}{1+a}t\qquad(8)$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=\int_t^{\frac{1-a}{1+a}t}|-(x-t)^2+at^2|\,dx\\&=\int_t^{\frac{1-a}{1+a}t}\{-(x-t)^2+at^2\}\,dx&&\text{(9)}\\&=\Biggl[-\frac13x^3+tx^2+(at^2-t^2)x\Biggr]_t^{\frac{1-a}{1+a}t}\\&=-\frac13\left\{\frac{(1-a)^3}{(1+a)^3}t^3-t^3\right\}+t\left\{\frac{(1-a)^2}{(1+a)^2}t^2-t^2\right\}+(a-1)t^2\left(\frac{1-a}{1+a}t-t\right)\\&=t^3\times\left\{-\frac13\times\frac{-2a^3-6a}{(1+a)^3}+\frac{-4a}{(1+a)^2}+\frac{-2a^2+2a}{1+a}\right\}&&\text{(10)}\\&=-\frac{t^3}{3}\times\left\{\frac{-2a^3-6a}{(1+a)^3}+(-3)\times\frac{-4a(1+a)}{(1+a)^3}+(-3)\times\frac{(-2a^2+2a)(1+a)^2}{(1+a)^3}\right\}\\&=-\frac{t^3}{3}\times\left\{\frac{-2a^3-6a}{(1+a)^3}+\frac{12a^2+12a}{(1+a)^3}+\frac{6a^4+6a^3-6a^2-6a}{(1+a)^3}\right\}\\&=-\frac{t^3}{3}\times\frac{6a^4+4a^3+6a^2}{(1+a)^3}&&\text{(11)}\end{aligned}$이고

$\displaystyle \frac{S(t)}{t^3}=-g(a)=-\frac{6a^4+4a^3+6a^2}{3(1+a)^3}\quad(t<0)\qquad(12)$이므로$\displaystyle g(a)=\frac{6a^4+4a^3+6a^2}{3(1+a)^3}\qquad(13)$에서$\displaystyle p=4,\ q=6,\ r=0,\ s=0\qquad(14)$이다.

[문제 2-3]$\displaystyle t>0$이면 곡선 $\displaystyle y=-(x-t)^2+f(t)$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 만나는 두 점의 $\displaystyle x$좌표는 이차방정식 $\displaystyle -(x-t)^2-at^2=-ax^2$의 두 실근이므로 이차방정식을 정리하여 풀면 $\displaystyle (a-1)x^2+2tx-t^2-at^2=0$에서$\displaystyle x=t$ 또는 $\displaystyle x=\frac{1+a}{1-a}t\qquad(15)$이때 $\displaystyle t>0$, $\displaystyle 0<a<1$이므로$\displaystyle t<\frac{1+a}{1-a}t\qquad(16)$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=\int_t^{\frac{1+a}{1-a}t}|-(x-t)^2-at^2|\,dx\\&=\int_t^{\frac{1+a}{1-a}t}\{(x-t)^2+at^2\}\,dx&&\text{(17)}\\&=\Biggl[\frac13x^3-tx^2+(at^2+t^2)x\Biggr]_t^{\frac{1+a}{1-a}t}\\&=\frac13\left\{\frac{(1+a)^3}{(1-a)^3}t^3-t^3\right\}-t\left\{\frac{(1+a)^2}{(1-a)^2}t^2-t^2\right\}+(a+1)t^2\left(\frac{1+a}{1-a}t-t\right)&&\text{(18)}\\&=t^3\times\left\{\frac13\times\frac{2a^3+6a}{(1-a)^3}-\frac{4a}{(1-a)^2}+\frac{2a^2+2a}{1-a}\right\}\\&=\frac{t^3}{3}\times\left\{\frac{2a^3+6a}{(1-a)^3}-3\times\frac{4a(1-a)}{(1-a)^3}+3\times\frac{(2a^2+2a)(1-a)^2}{(1-a)^3}\right\}\\&=\frac{t^3}{3}\times\left\{\frac{2a^3+6a}{(1-a)^3}+\frac{12a^2-12a}{(1-a)^3}+\frac{6a^4-6a^3-6a^2+6a}{(1-a)^3}\right\}\\&=\frac{t^3}{3}\times\frac{6a^4-4a^3+6a^2}{(1-a)^3}&&\text{(19)}\end{aligned}$이고$\displaystyle \frac{S(t)}{t^3}=h(a)=\frac{6a^4-4a^3+6a^2}{3(1-a)^3}\ (t>0)\qquad(20)$이다.

[문제 2-2] 에서 $\displaystyle g(a)=\frac{6a^4+4a^3+6a^2}{3(1+a)^3}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{a\to0+}\frac{g(a)}{h(a)}&=\lim_{a\to0+}\frac{(6a^4+4a^3+6a^2)(1-a)^3}{(6a^4-4a^3+6a^2)(1+a)^3}\\&=\lim_{a\to0+}\frac{(6a^2+4a+6)(1-a)^3}{(6a^2-4a+6)(1+a)^3}&&\text{(21)}\\&=\frac{6\times1}{6\times1}=1\end{aligned}$이고

$\displaystyle \lim_{a\to1-}\frac{g(a)}{(1-a)^3h(a)}=\lim_{a\to1-}\frac{(6a^4+4a^3+6a^2)}{(6a^4-4a^3+6a^2)(1+a)^3}=\frac{16}{8\times8}=\frac14\qquad(22)$이다.