자연계열 II 3번

[문제 3-1]풀이 1)선분 $\displaystyle l_0$을 포함하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y-1=\frac{5-1}{-5-(-1)}(x-(-1))$로 구할 수 있으며 이 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-x$이다. 주어진 조건에서 $\displaystyle d_0(l_0,\mathrm{P})$와 $\displaystyle w_0(l_0,\mathrm{P})$를 구하면$\displaystyle d_0(l_0,\mathrm{P})=\frac{|-1+5|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt2\qquad(1)$

$\displaystyle \begin{aligned}w_0(l_0,\mathrm{P})&=\left(\sqrt{(x-(-1))^2+(y-5)^2}\right)^2=(x+1)^2+(-x-5)^2\\&=2x^2+12x+26\end{aligned}\qquad(3)$$\displaystyle \Rightarrow f_0(l_0,\mathrm{P})=\frac{d_0(l_0,\mathrm{P})}{w_0(l_0,\mathrm{P})}=\frac{2\sqrt2}{2x^2+12x+26}=\frac{\sqrt2}{x^2+6x+13}\qquad(4)$

치환적분을 하면$\displaystyle \tan\theta=\frac{x+3}{2}\Rightarrow\sec^2\theta\,d\theta=\frac12dx\ \left(-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2\right)$$\displaystyle \begin{cases}\tan\gamma_2=\frac{-1+3}{2}=1\\\tan\gamma_1=\frac{-5+3}{2}=-1\end{cases}\qquad(6)$

이때 $\displaystyle \gamma_2=\frac\pi4,\gamma_1=-\frac\pi4\ \left(\because-\frac\pi2<\gamma_1,\gamma_2<\frac\pi2\right)\qquad(7)$

$\displaystyle \begin{aligned}\Rightarrow\frac{\sqrt2}{4}\int_{-5}^{-1}\frac1{\left(\frac{x+3}{2}\right)^2+1}\,dx&=\frac{\sqrt2}{4}\int_{\gamma_1}^{\gamma_2}\frac1{\tan^2\theta+1}2\sec^2\theta\,d\theta\\&=\frac{\sqrt2}{4}\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\frac1{\sec^2\theta}2\sec^2\theta\,d\theta=\frac{\sqrt2}{2}\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}1\,d\theta=\frac{\sqrt2}{2}\left\{\frac\pi4-\left(-\frac\pi4\right)\right\}&&\text{(8)}\\&=\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac\pi4+\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}{4}\pi&&\text{(9)}\end{aligned}$$\displaystyle \therefore\int_{-5}^{-1}f_0(l_0,\mathrm{P})\,dx=\frac{\sqrt2}{4}\pi\qquad(10)$

[문제 3-2]먼저 $\displaystyle l_1$에 대해서 문제의 정의에 따라$\displaystyle a_1=\int_0^\alpha\frac{v}{(x-u)^2+v^2}\,dx=\int_0^\alpha\frac{v}{v^2\left\{\left(\frac{x-u}{v}\right)^2+1\right\}}\,dx\qquad(11)$

$\displaystyle \tan\theta=\frac{x-u}{v}\left(-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2\right)$로 치환하고 $\displaystyle \frac{d\theta}{dx}$를 구하면 (12)$\displaystyle \sec^2\theta\,d\theta=\frac1v dx\qquad(13)$

또한$\displaystyle \tan\xi_2=\frac{\alpha-u}{v},\quad\tan\xi_1=-\frac uv\qquad(14)$$\displaystyle \begin{aligned}a_1&=\int_{\xi_1}^{\xi_2}\frac{v}{v^2(\tan^2\theta+1)}\times v\sec^2\theta\,d\theta=\int_{\xi_1}^{\xi_2}\frac{v}{v^2\sec^2\theta}\times v\sec^2\theta\,d\theta=\int_{\xi_1}^{\xi_2}1\,d\theta\\&=\xi_2-\xi_1\end{aligned}\qquad(15)$

위 그림에서 각 삼각형에 대한 탄젠트함수의 정의에 의해$\displaystyle \xi_2=\theta_2,\xi_1=-\theta_1\qquad(16)$따라서$\displaystyle a_1=\theta_2+\theta_1\qquad(17)$

선분 $\displaystyle l_2,l_3,l_4$에 대해서도 아래 그림들을 참고하여 동일한 방식으로 다음 결과를 얻을 수 있다.$\displaystyle a_2=\theta_3+\theta_4,a_3=\theta_5+\theta_6,a_4=\theta_7+\theta_8\qquad(18)$

(19)

$\displaystyle \therefore\sum_{k=1}^4a_k=2\pi\qquad(20)$

[문제 3-3]선분 $\displaystyle l_k$를 포함하는 직선과 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 사이의 거리 $\displaystyle d_k(l_k,\mathrm{P})$는 적분 변수 $\displaystyle x,y$와는 독립적인 값이기 때문에 다음이 성립된다.1) $\displaystyle k=1,3$일 때$\displaystyle \begin{aligned}a_k&=\int_0^\alpha f_k(l_k,\mathrm{P})\,dx=\int_0^\alpha\frac{d_k(l_k,P)}{w_k(l_k,P)}\,dx\\&=d_k(l_k,P)\int_0^\alpha\frac1{w_k(l_k,P)}\,dx=d_k(l_k,P)\int_0^\alpha F_k(l_k,P)\,dx\\&=d_k(l_k,P)\times A_k\end{aligned}\qquad(21)$2) $\displaystyle k=2,4$일 때$\displaystyle \begin{aligned}a_k&=\int_0^\beta f_k(l_k,\mathrm{P})\,dy=\int_0^\beta\frac{d_k(l_k,P)}{w_k(l_k,P)}\,dy\\&=d_k(l_k,P)\int_0^\beta\frac1{w_k(l_k,P)}\,dy=d_k(l_k,P)\int_0^\beta F_k(l_k,P)\,dy\\&=d_k(l_k,P)\times A_k\end{aligned}\qquad(22)$따라서 $\displaystyle k=1,2,3,4$에 대해$\displaystyle a_k=d_k(l_k,P)\times A_k\qquad(23)$

$\displaystyle C$를 계산하면$\displaystyle C=\frac{\sum_{k=1}^4a_k}{\sum_{k=1}^4A_k}=\frac{\sum_{k=1}^4a_k}{\sum_{k=1}^4\frac{a_k}{d_k(l_k,\mathrm{P})}}=\frac{2\pi}{\frac{\theta_1+\theta_2}{v}+\frac{\theta_3+\theta_4}{\alpha-u}+\frac{\theta_5+\theta_6}{\beta-v}+\frac{\theta_7+\theta_8}{u}}\qquad(24)$

점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle y$좌표가 일정할 때 $\displaystyle x$좌표의 값이 감소하면 $\displaystyle \angle\mathrm{BPA}$의 크기도 감소한다. 또한, 네 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$, $\displaystyle \mathrm{O}$를 지나는 원에서 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$에 대한 원주각의 크기를 $\displaystyle \theta_0$이라고 하면 $\displaystyle \theta_0$은 $\displaystyle \angle\mathrm{BPA}$의 크기보다 항상 작다. 따라서 $\displaystyle \theta_0<\theta_3+\theta_4$이다. (25)

$\displaystyle \frac{\theta_1+\theta_2}{v}$, $\displaystyle \frac{\theta_3+\theta_4}{\alpha-u}$, $\displaystyle \frac{\theta_5+\theta_6}{\beta-v}$, $\displaystyle \frac{\theta_7+\theta_8}{u}$은 모두 양수이므로$\displaystyle \begin{aligned}0\leq\frac{2\pi}{\frac{\theta_1+\theta_2}{v}+\frac{\theta_3+\theta_4}{\alpha-u}+\frac{\theta_5+\theta_6}{\beta-v}+\frac{\theta_7+\theta_8}{u}}&<\frac{2\pi}{\frac{\theta_3+\theta_4}{\alpha-u}}\\&=\frac{2\pi(\alpha-u)}{\theta_3+\theta_4}<\frac{2\pi(\alpha-u)}{\theta_0}\end{aligned}\qquad(26)$

$\displaystyle \lim_{u\to\alpha-}\frac{2\pi(\alpha-u)}{\theta_0}=0$이므로 $\displaystyle \lim_{u\to\alpha-}C=0$이다. (27)