자연계열 3번

(1) 교양과학서의 두께를 $\displaystyle x$, 아동도서의 두께를 $\displaystyle y$, 백과사전의 두께를 $\displaystyle z$, 그리고 책장 한 칸의 너비를 $\displaystyle w$라 하면 갑, 을, 병 세 사람의 조사결과를 다음과 같이 쓸 수 있다.

갑: $\displaystyle 2x+3y+3z=w$을: $\displaystyle 4x+3y+2z=w$병: $\displaystyle 4x+4y+3z=w$

1) 갑, 을의 결과로부터 $\displaystyle 2x+3y+3z=4x+3y+2z$, 즉 $\displaystyle z=2x$를 얻을 수 있다.2) 을, 병의 결과로부터 $\displaystyle 4x+3y+2z=4x+4y+3z$, 즉 $\displaystyle y=-z$를 얻을 수 있는데 $\displaystyle y$, $\displaystyle z$는 모두 책의 두께이므로 양수이어야 한다. 따라서 이 식은 틀렸음을 알 수 있다.3) 갑, 병의 결과로부터 $\displaystyle 2x+3y+3z=4x+4y+3z$, 즉 $\displaystyle y=-2x$를 얻게 되어 역시 틀린 결과를 얻게 된다.

1)∼3)으로부터 병의 조사결과가 잘못되었음을 알 수 있다.

(2)i) 교양과학서 15권으로 책장을 빈틈없이 채울 수 있다고 가정하면 $\displaystyle 15x=w$이다. 이 사실과 $\displaystyle x=z/2$ 로부터 백과사전으로 책장을 채우려면 백과사전은 7.5권이 필요함을 알 수 있다. 또한, $\displaystyle 15x=w$를 이용하여 갑 또는 을의 조사결과를 다시 써 보면 $\displaystyle 8x+3y=w=15x$, 즉 $\displaystyle 3y=7x$, 혹은 $\displaystyle x=3/7\ y$를 얻는다. 따라서 아동도서로 책장을 채우려면 아동도서가 $\displaystyle 45/7$권 필요하다. 따라서 교양과학서 이외의 도서로는 책장을 빈틈없이 채울 수 없다.

ii) 아동도서 15권으로 책장을 빈틈없이 채울 수 있다고 가정하면 $\displaystyle 15y=w$가 된다. 이 사실과 $\displaystyle z=2x$임을 이용하여 갑 또는 을의 조사결과를 다시 써 보면 $\displaystyle 8x+3y=w=15y$, 즉 $\displaystyle 2x=z=3y$를 얻는다. 즉, 아동도서 15권의 두께는 백과사전 5권의 두께와 같아 백과사전 5권으로도 책장 한 칸을 빈틈없이 채울 수 있게 되어 조건 ②, ③에 위배된다.

iii) 백과사전 15권으로 책장을 빈틈없이 채울 수 있다고 가정하면 $\displaystyle 15z=w$가 된다. 위에서 $\displaystyle z=2x$이므로 백과사전 15권의 두께는 교양과학서 30권의 두께와 같다. 즉 교양과학서 30권으로도 책장 한 칸을 빈틈없이 채울 수 있게 되어 조건 ②, ③에 위배된다.

i)∼iii)으로부터 문제의 조건을 만족하며 책장을 빈틈없이 채울 수 있는 도서는 교양과학서뿐임을 알 수 있다.