자연계열 5번

(1) 3개의 냄새성분 X가 5개의 냄새수용체와 결합하는 방법은 다음과 같다.① (2, 1) 결합: 두 개의 수용체에 성분 X가 2개, 1개씩 결합하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_5\mathrm{P}_2=5\times4=20$② (1, 1, 1) 결합: 세 개의 수용체에 성분 X가 1개, 1개, 1개씩 결합하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_5\mathrm{C}_3=\frac{5!}{2!3!}=10$∴ $\displaystyle 20+10=30$ 가지

(2) 이 문제 상황에서 주어진 가정은 다음과 같다.1) 냄새성분 A, B, C, D가 각각 세 개씩 총 12개 있다.2) 각 냄새성분은 냄새수용체(1∼7)의 다섯 개 중 하나와 반드시 결합한다.3) 하나의 냄새수용체에 같은 종류의 냄새성분 2개가 결합할 수 없다.4) 하나의 냄새수용체는 최대 3가지 냄새성분과 결합가능하다.5) 냄새수용체 1번만이 냄새성분 A, B, C, D와 결합이 가능하다.

위 조건을 이용하여 다음을 추론할 수 있다.① 12개의 냄새성분 A, B, C, D가 5개의 냄새수용체들과 결합하는 모든 경우의 수:$\displaystyle {}_5\mathrm{C}_3\times{}_5\mathrm{C}_3\times{}_5\mathrm{C}_3\times{}_5\mathrm{C}_3=10^4=10,000$② 냄새성분 A, B, C, D가 각각 하나씩 냄새수용체 1번과 결합하는 경우의 수:$\displaystyle {}_4\mathrm{C}_2\times{}_4\mathrm{C}_2\times{}_4\mathrm{C}_2\times{}_4\mathrm{C}_2=6^4=1,296$(즉, 냄새성분 A, B, C, D의 한 개씩 냄새수용체 1번과 결합하고, 나머지 두개의 냄새성분은 1번 이외의 냄새수용체와 결합하는 경우이다.)

∴ 냄새성분 A∼D가 냄새수용체 1∼7과 결합하는 방법은 ①에서 ②를 제외한 경우이다.① - ② = 10000 - 1296 = 8704

(3) 냄새수용체 3번은 냄새성분 B, C와 결합이 가능하고, 냄새수용체 7번은 냄새성분 A, D와 결합이 가능하다. 따라서 새로운 냄새성분 E가 3, 7번과 결합해도 최대 3개까지만 결합할 수 있다는 조건을 벗어나지 않아 경우의 수는 달라지지 않는다. 즉, 냄새수용체 3번의 (B, C) 결합이 (B, C, E) 결합으로, 냄새수용체 7번의 (A, D) 결합이 (A, D, E) 결합으로 변경될 뿐 전체 경우의 수는 변하지 않는다.