자연계열 1번

한양대 에리카캠퍼스 2015학년도 모의 2회 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2015mo_2/jayeon_1

[문제 1] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 자연수들로 이루어진 집합 $\displaystyle U$ 의 각 원소는 2, 3, 5 중 적어도 1개 이상의 수로 나누어 떨어진다. $\displaystyle U$ 의 원소 중 2의 배수들의 집합을 $\displaystyle A$ , 3의 배수들의 집합을 $\displaystyle B$ , 5의 배수들의 집합을 $\displaystyle C$ 라 하자.

<나> $\displaystyle n(X)$ 가 집합 $\displaystyle X$ 의 원소의 개수를 나타낸다고 할 때, $\displaystyle n(A)=19$ , $\displaystyle n(B)=18$ , $\displaystyle n(C)=21$ 이다. 또 2, 3, 5 중 적어도 2개 이상의 수로 나누어 떨어지는 $\displaystyle U$ 의 원소의 개수는 23이다. 그리고 2, 3, 5 모두로 나누어 떨어지는 $\displaystyle U$ 의 원소의 개수는 5이다.

<다> 집합 $\displaystyle X,Y,Z$ 에 대해서 다음이 성립한다.(i) $\displaystyle n(X\cup Y)=n(X)+n(Y)-n(X\cap Y)$ $\displaystyle n(X\cup Z)=n(X)+n(Z)-n(X\cap Z)$ $\displaystyle n(Y\cup Z)=n(Y)+n(Z)-n(Y\cap Z)$ (ii) $\displaystyle n(X\cup Y\cup Z)=n(X)+n(Y)+n(Z)-n(X\cap Y)-n(X\cap Z)-n(Y\cap Z)+n(X\cap Y\cap Z)$

1-1. 집합 $\displaystyle U$ 의 원소의 개수를 구하시오. [10점]

1-2. $\displaystyle 2n(A\cap B)=n(A\cap C)+n(B\cap C)$ 라 할 때, $\displaystyle n(A\cup B)$ 의 값을 구하시오. [10점]

1-3. $\displaystyle n(A\cap B)+1=n(A\cap C)$ , $\displaystyle n(A\cap B)-1=n(B\cap C)$ 라 할 때, $\displaystyle n(A\cap(B\cup C)^c)$ 의 값을 구하시오.(단, $\displaystyle X^c$ 는 집합 $\displaystyle X$ 의 여집합을 나타낸다.) [10점]

해설강의 준비중

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5점 · 1-1

1-1. [풀이]제시문 <나>에 의해서 $\displaystyle n(A)=19$ , $\displaystyle n(B)=18$ , $\displaystyle n(C)=21$ , $\displaystyle n(A\cap B\cap C)=5$ , $\displaystyle n((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C))=23$ 임을 알 수 있다. 또한, 제시문 <다>의 (ii)에 의해서 $\displaystyle n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$ 한편, $\displaystyle X=A\cap B$ , $\displaystyle Y=A\cap C$ , $\displaystyle Z=B\cap C$ 라 놓고, <다>의 (ii)를 적용하면 $\displaystyle \begin{aligned}n((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C))&=n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)\\&\quad-n((A\cap B)\cap(A\cap C))-n((A\cap B)\cap(B\cap C))-n((A\cap C)\cap(B\cap C))\\&\quad+n((A\cap B)\cap(A\cap C)\cap(B\cap C))\end{aligned}$

10점 · 1-1

여기서, $\displaystyle A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap(A\cap C)=(A\cap B)\cap(B\cap C)=(A\cap C)\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap(A\cap C)\cap(B\cap C)$ 이므로, $\displaystyle n((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C))=n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)-2n(A\cap B\cap C)$ 따라서, $\displaystyle n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)=23+10=33$ . 그러므로, $\displaystyle n(A\cup B\cup C)=19+18+21-33+5=30$ 이므로 집합 $\displaystyle U$ 의 원소의 개수는 30이다.

5점 · 1-2

1-2. [풀이]제시문 <다>의 (i)에 의해, $\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ 이다.한편 $\displaystyle 2n(A\cap B)=n(A\cap C)+n(B\cap C)$ 이므로, $\displaystyle n(A\cap B)=(n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C))/3$ 이다.

10점 · 1-2

문제 1의 풀이에서 $\displaystyle n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)=33$ 이므로 $\displaystyle n(A\cap B)=11$ 이다.따라서, $\displaystyle n(A\cup B)=19+18-11=26$ 이다.

5점 · 1-3

1-3. [풀이] $\displaystyle A\cap(B\cup C)^c=A\cap((A\cap B)\cup(A\cap C))^c$ 이고 $\displaystyle (A\cap B),(A\cap C)\subset A$ 이므로 $\displaystyle n(A\cap(B\cup C)^c)=n(A)-n((A\cap B)\cup(A\cap C))$ 이다.따라서 제시문 <다>의 (i)에 의해 $\displaystyle n(A\cap(B\cup C)^c)=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)$ 이다.

10점 · 1-3

한편, $\displaystyle n(A\cap B)+1=n(A\cap C)$ , $\displaystyle n(A\cap B)-1=n(B\cap C)$ 이므로 $\displaystyle 2\times n(A\cap B)=n(A\cap C)+n(B\cap C)$ 이다.따라서 문제 2의 풀이에 의해 $\displaystyle n(A\cap B)=11$ 이고 $\displaystyle n(A\cap C)=12$ , $\displaystyle n(B\cap C)=10$ 이다. 그러므로 $\displaystyle n(A\cap(B\cup C)^c)=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)=19-11-12+5=1$ 이다.

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