자연계열 1번

1-1. [풀이]제시문 <나>에 의해서$\displaystyle n(A)=19$, $\displaystyle n(B)=18$, $\displaystyle n(C)=21$, $\displaystyle n(A\cap B\cap C)=5$,$\displaystyle n((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C))=23$임을 알 수 있다. 또한, 제시문 <다>의 (ii)에 의해서$\displaystyle n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$한편, $\displaystyle X=A\cap B$, $\displaystyle Y=A\cap C$, $\displaystyle Z=B\cap C$라 놓고, <다>의 (ii)를 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}n((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C))&=n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)\\&\quad-n((A\cap B)\cap(A\cap C))-n((A\cap B)\cap(B\cap C))-n((A\cap C)\cap(B\cap C))\\&\quad+n((A\cap B)\cap(A\cap C)\cap(B\cap C))\end{aligned}$

여기서, $\displaystyle A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap(A\cap C)=(A\cap B)\cap(B\cap C)=(A\cap C)\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap(A\cap C)\cap(B\cap C)$이므로,$\displaystyle n((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C))=n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)-2n(A\cap B\cap C)$따라서, $\displaystyle n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)=23+10=33$. 그러므로,$\displaystyle n(A\cup B\cup C)=19+18+21-33+5=30$이므로 집합 $\displaystyle U$의 원소의 개수는 30이다.

1-2. [풀이]제시문 <다>의 (i)에 의해, $\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$이다.한편 $\displaystyle 2n(A\cap B)=n(A\cap C)+n(B\cap C)$이므로,$\displaystyle n(A\cap B)=(n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C))/3$이다.

문제 1의 풀이에서 $\displaystyle n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)=33$이므로 $\displaystyle n(A\cap B)=11$이다.따라서, $\displaystyle n(A\cup B)=19+18-11=26$이다.

1-3. [풀이]$\displaystyle A\cap(B\cup C)^c=A\cap((A\cap B)\cup(A\cap C))^c$이고 $\displaystyle (A\cap B),(A\cap C)\subset A$이므로$\displaystyle n(A\cap(B\cup C)^c)=n(A)-n((A\cap B)\cup(A\cap C))$이다.따라서 제시문 <다>의 (i)에 의해$\displaystyle n(A\cap(B\cup C)^c)=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)$이다.

한편, $\displaystyle n(A\cap B)+1=n(A\cap C)$, $\displaystyle n(A\cap B)-1=n(B\cap C)$이므로$\displaystyle 2\times n(A\cap B)=n(A\cap C)+n(B\cap C)$이다.따라서 문제 2의 풀이에 의해 $\displaystyle n(A\cap B)=11$이고 $\displaystyle n(A\cap C)=12$, $\displaystyle n(B\cap C)=10$이다. 그러므로$\displaystyle n(A\cap(B\cup C)^c)=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)=19-11-12+5=1$이다.