자연계열 2번

2-1. [풀이]두 점이 직선 $\displaystyle l$에 대하여 대칭이므로, 직선 $\displaystyle l$은 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ 수직이고, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$의 중점 $\displaystyle \mathrm{M}$을 포함한다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-4,2)$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{M}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{M}(0,2)$이므로, 직선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle (-4)(x-0)+2(y-2)=0$ 또는 $\displaystyle 2x-y+2=0$

2-2. [풀이]점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 직선 $\displaystyle l$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}(x_0,y_0)$라고 하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}$는 직선 $\displaystyle l$의 법선벡터는 $\displaystyle \overrightarrow{n}=(a,b)$에 평행하므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=t\overrightarrow{n}$ 또는 $\displaystyle (x_1-x_0,y_1-y_0)=t(a,b)$Correction. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}$의 성분 $\displaystyle (x_1-x_0,y_1-y_0)$는 $\displaystyle (x_0-x_1,y_0-y_1)$의 오기이다. 원문에 적힌 성분은 반대 방향인 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HP}}$의 성분이다.그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

인 실수 $\displaystyle t$가 존재한다. 따라서$\displaystyle x_0=x_1-ta$, $\displaystyle y_0=y_1-tb$한편 점 $\displaystyle \mathrm{H}(x_0,y_0)$는 직선 $\displaystyle l$의 점이므로$\displaystyle a(x_1-ta)+b(y_1-tb)+c=0$이고 $\displaystyle t=\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$

또한 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PH}}|=|t||\overrightarrow{n}|$이므로 $\displaystyle a^2+b^2=1$에 대하여, 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1)$과 직선 $\displaystyle l$ 사이의 거리는$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PH}}|=|t|=|ax_1+by_1+c|$

2-3. [풀이]제시문 <나>에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}d_{l,\mathrm{P}}+d_{l,\mathrm{Q}}+d_{l,\mathrm{R}}&=(3a+2b)+(-2a+b)+(-b)\\&=a+2b\end{aligned}$따라서, 조건 $\displaystyle d_{l,\mathrm{P}}+d_{l,\mathrm{Q}}+d_{l,\mathrm{R}}=0$으로부터 $\displaystyle a=-2b$이다. 한편 $\displaystyle a^2+b^2=1$이므로$\displaystyle a=\pm\frac2{\sqrt5}$, $\displaystyle b=\mp\frac1{\sqrt5}$

이고 직선의 방정식은$\displaystyle \frac2{\sqrt5}x-\frac1{\sqrt5}y=0$ 또는 $\displaystyle y=2x$