자연계열 2번

[2-1 풀이]$\displaystyle f(x)=x^2+ax+2$라 하면, 로그의 진수의 조건에 의하여 $\displaystyle f(x)>0\ (x\ge0)$이 성립해야 한다.$\displaystyle f(x)=\left(x+\frac a2\right)^2-\frac{a^2}4+2$에서 $\displaystyle a\ge0$, $\displaystyle a<0$인 두 가지 경우를 생각할 수 있다.

(1) $\displaystyle a\ge0$:✓ $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle f(x)$는 최솟값 $\displaystyle f(0)=2$을 가지므로 $\displaystyle n=0$에 대하여 방정식 $\displaystyle f(0)=2^0$, 즉 $\displaystyle h(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x\ge0$인 실근 $\displaystyle x$는 존재하지 않는다.✓ 또한 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x\ge0$ 영역에서 연속이고 증가함수이므로 $\displaystyle h(x)=\log_2(x^2+ax+2)$도 연속이고 증가함수이다.따라서 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x^2+ax+2=2^n$, 즉 $\displaystyle \log_2(x^2+ax+2)=n$를 만족하는 $\displaystyle x\ge0$인 실근 $\displaystyle x$의 개수가 하나뿐이다.그러므로 $\displaystyle a\ge0$일 경우, $\displaystyle x\ge0$에 대하여 $\displaystyle \log_2(x^2+ax+2)=n$을 만족하는 실근의 개수가 2개 이상이 되는 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$은 존재하지 않는다.

(2) $\displaystyle a<0$:$\displaystyle f(x)=\left(x+\frac a2\right)^2-\frac{a^2}4+2$으로부터 $\displaystyle x=-\frac a2>0$에서 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle -\frac{a^2}4+2$이다.따라서 로그의 진수의 조건에 의하여, $\displaystyle -\frac{a^2}4+2>0$이 성립하여야 하고 이때 $\displaystyle a$의 범위는 다음과 같다.$\displaystyle -2\sqrt2<a<0$한편 $\displaystyle f(0)=2$이고 $\displaystyle f(x)$의 최솟값이 $\displaystyle -\frac{a^2}4+2<2$이므로 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다.✓ $\displaystyle -2\le a<0$:$\displaystyle 1\le-\frac{a^2}4+2<2$이므로 $\displaystyle \log_2(x^2+ax+2)=n$을 만족하는 $\displaystyle x\ge0$인 실근 $\displaystyle x$의 개수가 2개 이상이 되는 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$은 1뿐이다.✓ $\displaystyle -2\sqrt2<a<-2$:$\displaystyle 0<-\frac{a^2}4+2<1$이므로 $\displaystyle \log_2(x^2+ax+2)=n$을 만족하는 $\displaystyle x\ge0$인 실근 $\displaystyle x$의 개수가 2개 이상이 되는 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$은 0과 1이다.

따라서 $\displaystyle \log_2(x^2+ax+2)=n$을 만족하는 음이 아닌 실근 $\displaystyle x$의 개수가 2개 이상이 되는 상수 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle -2\sqrt2<a<0$이고 이때 가능한 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$은 0, 1이다.

[2-2 풀이]자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \log_2(x^2+2x+2)=n$을 만족하는 $\displaystyle x\ge0$인 실근 $\displaystyle x_n$은 다음과 같다.$\displaystyle x_n=-1+\sqrt{2^n-1}$

$\displaystyle x$에 관한 함수 $\displaystyle h(x)=\log_2(x^2+2x+2)$는 구간 $\displaystyle [x_n,x_{n+1})$에서$\displaystyle n\le\log_2(x^2+2x+2)<n+1$이므로 구간 $\displaystyle [x_n,x_{n+1})$에서 $\displaystyle q(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle q(x)=\log_2(x^2+2x+2)-n$

[2-3 풀이]문제 2-2로부터 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \log_2(x^2+2x+2)=n$을 만족하는 $\displaystyle x\ge0$인 실근은 $\displaystyle x_n=-1+\sqrt{2^n-1}$이고 구간 $\displaystyle [x_n,x_{n+1})$에서 $\displaystyle q(x)=\log_2(x^2+2x+2)-n$이다.

한편$\displaystyle \int(x+1)\log_2(x^2+2x+2)dx=\frac1{2\ln2}\left[(x^2+2x+2)\ln(x^2+2x+2)-(x^2+2x+2)\right]+C$이므로 $\displaystyle I_n=\int_{x_n}^{x_{n+1}}(x+1)q(x)dx$라 두면,$\displaystyle \begin{aligned}I_n&=\frac12\Biggl[(x^2+2x+2)\log_2(x^2+2x+2)-\frac1{\ln2}(x^2+2x+2)\Biggr]_{x_n}^{x_{n+1}}-n\Biggl[\frac{x^2}2+x\Biggr]_{x_n}^{x_{n+1}}\\&=\frac12\left[\left((n+1)2^{n+1}-\frac1{\ln2}2^{n+1}\right)-\left(n2^n-\frac1{\ln2}2^n\right)\right]-n\left[(2^n-1)-(2^{n-1}-1)\right]\\&=(n+2)2^{n-1}-\frac1{\ln2}2^{n-1}-n2^{n-1}\\&=\left(2-\frac1{\ln2}\right)2^{n-1}\end{aligned}$따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\sqrt{127}-1}(x+1)q(x)dx&=\sum_{n=1}^6I_n\\&=\left(2-\frac1{\ln2}\right)\sum_{n=1}^62^{n-1}=63\left(2-\frac1{\ln2}\right)\end{aligned}$