수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

오류 제보

한양대 에리카캠퍼스 2021학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2021mo/jayeon_3

이전 문제
배점35점
예상 소요 시간미공개

문제

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> n\displaystyle n이 자연수일 때, 다항식 (a+b)n\displaystyle (a+b)^n의 전개식을 조합의 수를 이용하여 나타내는 방법은 다음과 같다.(a+b)n=nC0an+nC1an−1b+nC2an−2b2+⋯+nCran−rbr+⋯+nCnbn=∑r=0nnCran−rbr\displaystyle \begin{aligned}(a+b)^n&={}_{n}\mathrm{C}_{0}a^n+{}_{n}\mathrm{C}_{1}a^{n-1}b+{}_{n}\mathrm{C}_{2}a^{n-2}b^2+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{r}a^{n-r}b^r+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}b^n\\&=\sum_{r=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{r}a^{n-r}b^r\end{aligned}nCr=n!r!(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}

<나> 어떤 사건이 일어날 확률이 p\displaystyle p이고 이 시행을 n\displaystyle n회 독립적으로 반복할 때 이 사건이 일어날 횟수를 확률변수 X\displaystyle X라 하자. 이때 확률변수 X\displaystyle X는 이항분포 B(n,p)\displaystyle \mathrm{B}(n,p)를 따르며, X\displaystyle X의 확률질량함수는 다음과 같다.P(X=r)=nCrpr(1−p)n−r(r=0,1,2,⋯ ,n)\displaystyle \mathrm{P}(X=r)={}_{n}\mathrm{C}_{r}p^r(1-p)^{n-r}\quad(r=0,1,2,\cdots,n)

<다> 확률변수 X\displaystyle X가 이항분포 B(n,p)\displaystyle \mathrm{B}(n,p)를 따른다고 할 때E(X)=∑x=0nxnCxpx(1−p)n−x=np\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{x=0}^nx{}_{n}\mathrm{C}_{x}p^x(1-p)^{n-x}=npV(X)=E(X2)−{E(X)}2=np(1−p)\displaystyle \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^2)-\{\mathrm{E}(X)\}^2=np(1-p)

3-1. 제시문 <나>에서 확률변수 X\displaystyle X가 이항분포 B(10,p)\displaystyle \mathrm{B}(10,p)를 따르고 ∑r=010P(X>r)=2\displaystyle \sum_{r=0}^{10}\mathrm{P}(X>r)=2일 때, 제시문 <다>를 이용하여 확률변수 (X−a)2\displaystyle (X-a)^2의 기댓값이 최소가 되도록 하는 상수 a\displaystyle a의 값을 구하시오. [15점]

3-2. 한 개의 주사위를 n\displaystyle n번 던질 때 5이상의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X\displaystyle X라 하고, 이때 확률변수 X\displaystyle X가 k\displaystyle k일 확률을 P(X=k) (k=0,1,⋯ ,n)\displaystyle \mathrm{P}(X=k)\ (k=0,1,\cdots,n)라 하자. mn=∑k=0ncos⁡(knπ)P(X=k)\displaystyle m_n=\sum_{k=0}^n\cos(kn\pi)\mathrm{P}(X=k)라 할 때, ∑j=12n(−1)jlog⁡3mj\displaystyle \sum_{j=1}^{2n}(-1)^j\log_3m_j를 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2021학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2021mo/jayeon_3

[3-1 풀이]∑r=010P(X>r)=P(X>0)+P(X>1)+⋯+P(X>9)+P(X>10)={P(X=1)+P(X=2)+⋯+P(X=10)}+{P(X=2)+P(X=3)+⋯+P(X=10)}+{P(X=3)+P(X=4)+⋯+P(X=10)}+⋯+{P(X=9)+P(X=10)}+{P(X=10)}=P(X=1)+2P(X=2)+⋯+10P(X=10)=∑r=010rP(X=r)=E(X)=10×p=2\displaystyle \begin{aligned}\sum_{r=0}^{10}\mathrm{P}(X>r)&=\mathrm{P}(X>0)+\mathrm{P}(X>1)+\cdots+\mathrm{P}(X>9)+\mathrm{P}(X>10)\\&=\{\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(X=2)+\cdots+\mathrm{P}(X=10)\}+\{\mathrm{P}(X=2)+\mathrm{P}(X=3)+\cdots+\mathrm{P}(X=10)\}\\&\quad+\{\mathrm{P}(X=3)+\mathrm{P}(X=4)+\cdots+\mathrm{P}(X=10)\}\\&\quad+\cdots\\&\quad+\{\mathrm{P}(X=9)+\mathrm{P}(X=10)\}+\{\mathrm{P}(X=10)\}\\&=\mathrm{P}(X=1)+2\mathrm{P}(X=2)+\cdots+10\mathrm{P}(X=10)\\&=\sum_{r=0}^{10}r\mathrm{P}(X=r)=\mathrm{E}(X)=10\times p=2\end{aligned}그러므로 p=15\displaystyle p=\frac15

제시문 <다>에 의하여 E(X)=10×15=2\displaystyle \mathrm{E}(X)=10\times\frac15=2, V(X)=10×15×45=85\displaystyle \mathrm{V}(X)=10\times\frac15\times\frac45=\frac85이므로E(X2)=V(X)+{E(X)}2=85+4=285\displaystyle \mathrm{E}(X^2)=\mathrm{V}(X)+\{\mathrm{E}(X)\}^2=\frac85+4=\frac{28}5그러므로E((X−a)2)=E(X2−2aX+a2)=E(X2)−2aE(X)+a2=285−4a+a2=(a−2)2+85\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}((X-a)^2)&=\mathrm{E}(X^2-2aX+a^2)=\mathrm{E}(X^2)-2a\mathrm{E}(X)+a^2\\&=\frac{28}5-4a+a^2=(a-2)^2+\frac85\end{aligned}

따라서 a=2\displaystyle a=2일 때 E((X−a)2)\displaystyle \mathrm{E}((X-a)^2)은 최솟값 85\displaystyle \frac85을 가지므로, a=2\displaystyle a=2이다.

[3-2 풀이]한 번의 시행에서 5이상의 눈이 나올 확률은 13\displaystyle \frac13이므로 P(X=k)=nCk(13)k(23)n−k\displaystyle \mathrm{P}(X=k)={}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{n-k}이다.(i) n\displaystyle n이 짝수일 때 cos⁡(knπ)=1\displaystyle \cos(kn\pi)=1이 모든 k\displaystyle k에 대해서 항상 성립하므로mn=∑k=0nnCk(13)k(23)n−k=(23+13)n=1\displaystyle m_n=\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{n-k}=\left(\frac23+\frac13\right)^n=1(ii) n\displaystyle n이 홀수일 때 cos⁡(knπ)=(−1)k\displaystyle \cos(kn\pi)=(-1)^k이므로,mn=∑k=0n(−1)knCk(13)k(23)n−k=∑k=0nnCk(−13)k(23)n−k=(23+(−13))n=13n\displaystyle \begin{aligned}m_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{n-k}=\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(-\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{n-k}\\&=\left(\frac23+\left(-\frac13\right)\right)^n=\frac1{3^n}\end{aligned}이다.따라서,∑j=12n(−1)jlog⁡3mj=∑k=1n{(−1)2k−1log⁡3m2k−1+(−1)2klog⁡3m2k}=−∑k=1nlog⁡3(132k−1)=∑k=1n(2k−1)=2×n(n+1)2−n=n2\displaystyle \begin{aligned}\sum_{j=1}^{2n}(-1)^j\log_3m_j&=\sum_{k=1}^n\{(-1)^{2k-1}\log_3m_{2k-1}+(-1)^{2k}\log_3m_{2k}\}\\&=-\sum_{k=1}^n\log_3\left(\frac1{3^{2k-1}}\right)=\sum_{k=1}^n(2k-1)\\&=2\times\frac{n(n+1)}2-n=n^2\end{aligned}

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.