자연계열 3번

[3-1 풀이]$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{r=0}^{10}\mathrm{P}(X>r)&=\mathrm{P}(X>0)+\mathrm{P}(X>1)+\cdots+\mathrm{P}(X>9)+\mathrm{P}(X>10)\\&=\{\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(X=2)+\cdots+\mathrm{P}(X=10)\}+\{\mathrm{P}(X=2)+\mathrm{P}(X=3)+\cdots+\mathrm{P}(X=10)\}\\&\quad+\{\mathrm{P}(X=3)+\mathrm{P}(X=4)+\cdots+\mathrm{P}(X=10)\}\\&\quad+\cdots\\&\quad+\{\mathrm{P}(X=9)+\mathrm{P}(X=10)\}+\{\mathrm{P}(X=10)\}\\&=\mathrm{P}(X=1)+2\mathrm{P}(X=2)+\cdots+10\mathrm{P}(X=10)\\&=\sum_{r=0}^{10}r\mathrm{P}(X=r)=\mathrm{E}(X)=10\times p=2\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle p=\frac15$

제시문 <다>에 의하여 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=10\times\frac15=2$, $\displaystyle \mathrm{V}(X)=10\times\frac15\times\frac45=\frac85$이므로$\displaystyle \mathrm{E}(X^2)=\mathrm{V}(X)+\{\mathrm{E}(X)\}^2=\frac85+4=\frac{28}5$그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}((X-a)^2)&=\mathrm{E}(X^2-2aX+a^2)=\mathrm{E}(X^2)-2a\mathrm{E}(X)+a^2\\&=\frac{28}5-4a+a^2=(a-2)^2+\frac85\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle a=2$일 때 $\displaystyle \mathrm{E}((X-a)^2)$은 최솟값 $\displaystyle \frac85$을 가지므로, $\displaystyle a=2$이다.

[3-2 풀이]한 번의 시행에서 5이상의 눈이 나올 확률은 $\displaystyle \frac13$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(X=k)={}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{n-k}$이다.(i) $\displaystyle n$이 짝수일 때 $\displaystyle \cos(kn\pi)=1$이 모든 $\displaystyle k$에 대해서 항상 성립하므로$\displaystyle m_n=\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{n-k}=\left(\frac23+\frac13\right)^n=1$(ii) $\displaystyle n$이 홀수일 때 $\displaystyle \cos(kn\pi)=(-1)^k$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}m_n&=\sum_{k=0}^n(-1)^k{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{n-k}=\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(-\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{n-k}\\&=\left(\frac23+\left(-\frac13\right)\right)^n=\frac1{3^n}\end{aligned}$이다.따라서,$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{j=1}^{2n}(-1)^j\log_3m_j&=\sum_{k=1}^n\{(-1)^{2k-1}\log_3m_{2k-1}+(-1)^{2k}\log_3m_{2k}\}\\&=\sum_{k=1}^n\log_3\left(\frac1{3^{2k-1}}\right)=\sum_{k=1}^n(2k-1)\\&=2\times\frac{n(n+1)}2-n=n^2\end{aligned}$Correction. 로그 앞의 음수 부호가 누락된 오기이다. 앞 식의 부호를 유지하면 다음과 같다.$\displaystyle -\log_3\frac1{3^{2k-1}}=2k-1$그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.