자연계열 1번

[1-1 풀이]

반지름의 길이가 $\displaystyle r$, 중심각의 크기가 $\displaystyle \theta$인 부채꼴의 호의 길이를 $\displaystyle l$, 넓이를 $\displaystyle S$라고 하면

제시문 <가>에서 호의 길이는 $\displaystyle l = r \theta$, 넓이는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} r^{2} \theta$

$\displaystyle S = \frac{1}{2} r^{2} \theta$에서 $\displaystyle \theta = 2 \frac{S}{r^{2}}$이므로

둘레의 길이는

$\displaystyle 2 r + l = 2 r + r \theta = 2 r + 2 \frac{S}{r} \geq 2 \sqrt{2 r \cdot 2 \frac{S}{r}} = 4 \sqrt{S}$

부채꼴의 둘레의 길이가 최소일 때 즉, 등호가 성립할 때는

$\displaystyle 2 r = 2 \frac{S}{r}$ ⇒ $\displaystyle r^{2} = S$

∴ $\displaystyle \theta = 2 \frac{S}{r^{2}} = 2 \frac{S}{S} = 2$

[1-2 풀이]

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle A + B + C = \pi$ 이므로 $\displaystyle A + B = \pi - C$

$\displaystyle \sin \left( \frac{{A + B - C}}{2} \right) = \sin \left( \frac{{\pi - 2 C}}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - C \right) = \cos C$

이므로 $\displaystyle \sin A = 2 \sin \left( \frac{{A + B - C}}{2} \right) \sin B$에서

$\displaystyle \sin A = 2 \cos C \sin B$ $\displaystyle \cdots \cdots$ ㉠

제시문 <나>에서

$\displaystyle \sin A = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$, $\displaystyle \sin B = \frac{3}{2R}$ $\displaystyle \cdots \cdots$ ㉡

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = c$라 하면, 제시문 <다>에서

$\displaystyle \cos C = \frac{{4 + 9 - c^{2}}}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{{13 - c^{2}}}{12}$ $\displaystyle \cdots \cdots$ ㉢

㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면

$\displaystyle \frac{1}{R} = 2 \cdot \frac{{13 - c^{2}}}{12} \cdot \frac{3}{2R}$에서 $\displaystyle c^{2} = 9$이므로

$\displaystyle c = 3$

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이에서

$\displaystyle \frac{1}{2} r ( 2 + 3 + 3 ) = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times \sin B$ ⇒ $\displaystyle r = \frac{3}{4} \sin B$

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$는 이등변삼각형이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 중점을 $\displaystyle M$이라 하면 $\displaystyle \angle \mathrm{BMA} = \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BM}}$의 길이는 1

따라서 $\displaystyle \sin B = \frac{{2 \sqrt{2}}}{3}$이고,

$\displaystyle \sin B = \frac{3}{2R}$에서 $\displaystyle R = \frac{9}{4 \sqrt{2}} = \frac{{9 \sqrt{2}}}{8}$

$\displaystyle r = \frac{3}{4} \sin B$ 에서 $\displaystyle r = \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로

∴ $\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{4}{9}$

[1-3 풀이]

삼각형 $\displaystyle ABC$의 각 꼭짓점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$의 대변의 길이를 각각 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$라고 하자.

제시문 <나> 사인법칙에 의하여

$\displaystyle \sin A = \frac{a}{2R}$, $\displaystyle \sin B = \frac{{b}}{2 R}$, $\displaystyle \sin C = \frac{{c}}{2 R}$

$\displaystyle \sin B + \sin C = \left( R \sin A - \frac{1}{2} \right) \sin A$에서 $\displaystyle \frac{b}{2R} + \frac{c}{2R} = \left( \frac{a}{2} - \frac{{1}}{2} \right) \frac{a}{2R}$이므로

$\displaystyle 2 ( b + c ) = a^{2} - a$ $\displaystyle \cdots \cdots$ ㉠

$\displaystyle \sin B - \sin C = \frac{1}{2} \sin A + \frac{3}{4R}$에서 $\displaystyle \frac{{b}}{2 R} - \frac{{c}}{2 R} = \frac{1}{2} \left( \frac{a}{2R} + \frac{3}{2R} \right)$이므로

$\displaystyle 2 ( b - c ) = a + 3$ $\displaystyle \cdots \cdots$ ㉡

㉠, ㉡에서

$\displaystyle b = \frac{{a^{2} + 3}}{4}$, $\displaystyle c = \frac{{a^{2} - 2 a - 3}}{4}$

$\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$는 삼각형의 세 변의 길이이므로 $\displaystyle a > 0$, $\displaystyle b > 0$, $\displaystyle c > 0$이고,

$\displaystyle c = \frac{{a^{2} - 2 a - 3}}{4}$에서 $\displaystyle 4 c = ( a - 3 ) ( a + 1 ) > 0$ 이므로 $\displaystyle a > 3$ 이다.

$\displaystyle b - a = \frac{{a^{2} + 3}}{4} - a = \frac{{a^{2} - 4 a + 3}}{4} = \frac{{( a - 1 ) ( a - 3 )}}{4} > 0$

$\displaystyle b - c = \frac{{a^{2} + 3}}{4} - \frac{{a^{2} - 2 a - 3}}{4} = \frac{{2 a + 6}}{4} > 0$

따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 변의 길이의 최댓값은 $\displaystyle b=\overline{\mathrm{CA}}$이므로

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 내각 중 최대는 $\displaystyle \angle B$ 이다.

제시문 <다>를 이용하면

$\displaystyle \cos B = \frac{{a^{2} + c^{2} - b^{2}}}{2 a c} = \frac{{a^{2} - \frac{{( a^{2} - a ) ( a + 3 )}}{4}}}{2 a \times \frac{{a^{2} - 2 a - 3}}{4}}$

$\displaystyle = \frac{{4 a^{2} - a^{3} - 3 a^{2} + a^{2} + 3 a}}{2 a ( a - 3 ) ( a + 1 )}$

$\displaystyle = \frac{{- a^{3} + 2 a^{2} + 3 a}}{2 a ( a - 3 ) ( a + 1 )} = - \frac{1}{2}$

∴ $\displaystyle B = \frac{{2 \pi}}{3}$