한양대 에리카캠퍼스 2023학년도 모의 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<라>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 두 상수 $\displaystyle a( a < 0 )$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 이차함수 $\displaystyle y = a x^{2} + b x$ 의 그래프는 그림과 같이 두 점 $\displaystyle \mathrm{O}$ , $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 지나고, 위로 볼록한 포물선 모양을 나타낸다. (단, $\displaystyle \mathrm{O}$ 는 원점이다.)

<나> 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 닫힌구간 $\displaystyle \left[ a , b \right]$ 에서 연속일 때, 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x = a$ , $\displaystyle x = b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S = \int_{a}^{b} {\left| f ( x ) \right| d x}$ 이다.

<다> 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$ ( $\displaystyle a \leq x \leq b$ )의 길이 $\displaystyle l$ 은 $\displaystyle l = \int_{a}^{b} {\sqrt{1 + \left\{ f^{\prime} ( x ) \right\}^{2}}} d x$ 이다.

<라> 미분가능한 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f ( x ) \ne 0$ 일 때, 로그함수의 도함수와 합성함수의 미분법을 이용하여 함수 $\displaystyle y = \ln \left| f ( x ) \right|$ 의 도함수를 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle \left( \ln \left| f ( x ) \right| \right)^{\prime} = \frac{{f^{\prime} ( x )}}{f ( x )}$

3-1. 제시문 <가>의 그림과 같이 쏘아진 물줄기가 위로 볼록한 포물선 모양으로 나타나는 분수가 있다. 이 분수의 물줄기를 쏘아주는 지점을 좌표평면의 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 로 놓고, 분수의 물줄기가 지면에 떨어지는 지점을 $\displaystyle \mathrm{A}$ 라 할 때, 두 지점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 와 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 거리는 $\displaystyle 2 \ m$ 이고, 지면으로부터 분수의 최대 높이는 $\displaystyle 1 \ m$ 이다. 분수의 물줄기가 지나는 경로를 나타내는 이차함수의 그래프 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P} ( p , q )$ 에 대하여 $\displaystyle p + q$ 가 최대가 되도록 하는 지점에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle {\mathrm{H}} ( c , 0 )$ 이라 하자. 선분 $\displaystyle {\mathrm{OH}}$ 와 직선 $\displaystyle x = c$ 및 분수의 물줄기가 지나는 경로를 나타내는 이차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [15점]

3-2. 함수 $\displaystyle y = \frac{{1}}{2} x \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{{1}}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^{2} + 1} \right|$ 의 미분 $\displaystyle \frac{{d y}}{d x}$ 를 활용하여 [문제 3-1]의 분수의 물줄기가 지나는 경로의 길이를 구하려 한다. 제시문 <다>를 이용하여, 닫힌구간 $\displaystyle \left[ 0 , 2 \right]$ 에서 분수의 물줄기가 지나는 경로를 나타내는 곡선의 길이를 구하시오. [15점]

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[3-1 풀이]

폭 2m로 $\displaystyle ( 0 , 0 )$ 과 $\displaystyle ( 2 , 0 )$ 를 지나며 최대 높이 1m인 분수의 경로를 나타내는 이차함수의 식은 최고점 $\displaystyle ( 1 , 1 )$ 을 지나므로 $\displaystyle y = - x ( x - 2 ) = - x^{2} + 2 x$ 임을 알 수 있다.

이차함수 위의 한 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( p , q )$ 에 대해 $\displaystyle p + q = m$ 이라 하면, 이차함수에 직선 $\displaystyle y = - x + m$ 가 접하는 경우에 해당하므로, 접점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{{3}}{2} , \frac{{3}}{4} \right)$ 이고 수선의 발 $\displaystyle {\mathrm{H}} \left( \frac{{3}}{2} , 0 \right)$ 이다.

선분 $\displaystyle {\mathrm{OH}}$ 와 직선 $\displaystyle x = \frac{{3}}{2}$ , 이차함수 $\displaystyle y = - x^{2} + 2 x$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는

$\displaystyle S = \int_{0}^{\frac{{3}}{2}} {\left| - x ( x - 2 ) \right| d x} = \frac{{9}}{8}$ 이다.

[3-2 풀이]

제시문 <라>를 활용하여

함수 $\displaystyle y = \frac{{1}}{2} x \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{{1}}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^{2} + 1} \right|$ 를 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{{d y}}{d x} = \sqrt{x^{2} + 1}$ 이므로

$\displaystyle \int {\sqrt{1 + x^{2}}} d x= \frac{{1}}{2} x \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{{1}}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^{2} + 1} \right| + C$ (단, $\displaystyle C$ 는 적분상수) $\displaystyle \cdots \cdots$ ㉠

이다.

[3-1]에서 분수의 물줄기가 지나는 경로를 나타내는 이차함수를 $\displaystyle f ( x )$ 라 하면

$\displaystyle f ( x ) = - x^{2} + 2 x$ 이고, $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = - 2 x + 2$ 이므로

제시문 <다>에서

닫힌구간 $\displaystyle \left[ 0 , 2 \right]$ 에서 분수 물줄기의 경로가 나타내는 곡선의 길이 $\displaystyle l$ 은

$\displaystyle l= \int_{a}^{b} {\sqrt{1 + \left\{ f^{\prime} ( x ) \right\}^{2}}} d x$ $\displaystyle = \int_{0}^{2} {\sqrt{1 + \left( - 2 x + 2 \right)^{2}} d x}$ $\displaystyle = \int_{0}^{2} {\sqrt{1 + \left( 2 x - 2 \right)^{2}} d x}$ $\displaystyle = \frac{{1}}{2} \int_{- 2}^{2} {\sqrt{1 + X^{2}}} d X$ (단, $\displaystyle X = 2 x - 2$ ) $\displaystyle = \frac{{1}}{2} \times \left[ \frac{{1}}{2} x \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{{1}}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^{2} + 1} \right| \right]\bigg|_{-2}^{2}$ ( $\displaystyle \because$ ㉠) $\displaystyle = \sqrt{5} + \frac{{1}}{2} \ln ( 2 + \sqrt{5} )$

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