자연계열 3번

[3-1 풀이]

폭 2m로 $\displaystyle ( 0 , 0 )$과 $\displaystyle ( 2 , 0 )$를 지나며 최대 높이 1m인 분수의 경로를 나타내는 이차함수의 식은 최고점 $\displaystyle ( 1 , 1 )$을 지나므로 $\displaystyle y = - x ( x - 2 ) = - x^{2} + 2 x$ 임을 알 수 있다.

이차함수 위의 한 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( p , q )$에 대해 $\displaystyle p + q = m$이라 하면, 이차함수에 직선 $\displaystyle y = - x + m$가 접하는 경우에 해당하므로, 접점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{{3}}{2} , \frac{{3}}{4} \right)$이고 수선의 발 $\displaystyle {\mathrm{H}} \left( \frac{{3}}{2} , 0 \right)$이다.

선분 $\displaystyle {\mathrm{OH}}$와 직선 $\displaystyle x = \frac{{3}}{2}$, 이차함수 $\displaystyle y = - x^{2} + 2 x$로 둘러싸인 도형의 넓이는

$\displaystyle S = \int_{0}^{\frac{{3}}{2}} {\left| - x ( x - 2 ) \right| d x} = \frac{{9}}{8}$ 이다.

[3-2 풀이]

제시문 <라>를 활용하여

함수 $\displaystyle y = \frac{{1}}{2} x \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{{1}}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^{2} + 1} \right|$를 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{{d y}}{d x} = \sqrt{x^{2} + 1}$ 이므로

$\displaystyle \int {\sqrt{1 + x^{2}}} d x= \frac{{1}}{2} x \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{{1}}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^{2} + 1} \right| + C$ (단, $\displaystyle C$는 적분상수) $\displaystyle \cdots \cdots$ ㉠

이다.

[3-1]에서 분수의 물줄기가 지나는 경로를 나타내는 이차함수를 $\displaystyle f ( x )$라 하면

$\displaystyle f ( x ) = - x^{2} + 2 x$이고, $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = - 2 x + 2$이므로

제시문 <다>에서

닫힌구간 $\displaystyle \left[ 0 , 2 \right]$에서 분수 물줄기의 경로가 나타내는 곡선의 길이 $\displaystyle l$은

$\displaystyle l= \int_{a}^{b} {\sqrt{1 + \left\{ f^{\prime} ( x ) \right\}^{2}}} d x$$\displaystyle = \int_{0}^{2} {\sqrt{1 + \left( - 2 x + 2 \right)^{2}} d x}$$\displaystyle = \int_{0}^{2} {\sqrt{1 + \left( 2 x - 2 \right)^{2}} d x}$$\displaystyle = \frac{{1}}{2} \int_{- 2}^{2} {\sqrt{1 + X^{2}}} d X$ (단, $\displaystyle X = 2 x - 2$) $\displaystyle = \frac{{1}}{2} \times \left[ \frac{{1}}{2} x \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{{1}}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^{2} + 1} \right| \right]\bigg|_{-2}^{2}$ ($\displaystyle \because$ ㉠)$\displaystyle = \sqrt{5} + \frac{{1}}{2} \ln ( 2 + \sqrt{5} )$