자연계열 1번

(문항 1) 먼저 $\displaystyle \frac43<\sqrt2<\frac32$임을 관찰하자. 이것은

$\displaystyle (\frac43)^{2=}\frac{16}9<2=(\sqrt2)^2$, $\displaystyle (\frac32)^2=\frac94>2=(\sqrt2)^2$Correction. 등호가 지수에 포함되어 인쇄되었다. 바른 식은 $\displaystyle (4/3)^2=16/9<2=(\sqrt2)^2$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

으로부터 알 수 있다. 따라서, 제시문 (라)에 의해

$\displaystyle 2^{\frac43}<2^{\sqrt2}<2^{\frac32}$

을 얻는다.

이제 $\displaystyle (2^{\frac43})^3=(\sqrt[3]{2^4})^3=16$이고 $\displaystyle (\frac52)^3=\frac{125}8<16$이므로 $\displaystyle \frac52<2^{\frac43}$이 성립하고,

$\displaystyle (2^{\frac32})^2=(\sqrt{2^3})^2=8$이고 $\displaystyle 3^{2} =9>8$이므로 $\displaystyle 2^{\frac32}<3$이 성립한다.

그러므로, $\displaystyle \frac52<2^{\frac43}<2^{\sqrt2}<2^{\frac32}<3$이 성립하고 특히 $\displaystyle \frac52<2^{\sqrt2}<3$이라는 결론에 도달한다.

(문항 2) $\displaystyle x$가 음수이면 $\displaystyle a^x=\frac1{a^{-x}}$로 정의하고, $\displaystyle x=0$이면 $\displaystyle a^{0} =1$로 정의하자.

그러면, $\displaystyle x$가 양수일 때, $\displaystyle a^{x+(-x)}=a^0 = 1$이고 $\displaystyle a^xa^{-x}=a^x\cdot\frac1{a^x}=1$이므로 $\displaystyle a^{x+(-x)} =a^{x} a^{-x}$가 성립하게 된다.

일반적으로, $\displaystyle x<0$, $\displaystyle y<0$일 때,

$\displaystyle a^{x+y}=\frac1{a^{-(x+y)}}=\frac1{a^{(-x)+(-y)}}=\frac1{a^{-x}a^{-y}}=\frac1{a^{-x}}\cdot\frac1{a^{-y}}=a^xa^y$

이므로 $\displaystyle a^{x+y} = a^{x} a^{y}$가 성립한다.

또한, $\displaystyle x<0$, $\displaystyle y>0$이고 $\displaystyle x+y>0$일 때,

$\displaystyle a^{x+y}=\frac1{a^{-x}}\cdot a^{-x}a^{x+y}=a^xa^{(-x)+(x+y)}=a^xa^y$

이고, 이 사실을 이용하면 $\displaystyle x<0$, $\displaystyle y>0$이고 $\displaystyle x+y<0$일 때,

$\displaystyle a^{x+y}=\frac1{a^{-(x+y)}}=\frac1{a^{-x}a^{-y}}=\frac1{a^{-x}}\cdot\frac1{a^{-y}}=a^xa^y$

이므로, $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$가 영이 아닌 실수일 때, $\displaystyle a^{x+y} =a^{x} a^{y}$가 성립함을 알 수 있다.

마지막으로 $\displaystyle x$ 혹은 $\displaystyle y$가 영이라 하자. $\displaystyle x=0$인 경우만 생각하면 충분하다.

$\displaystyle a^{0+y} =a^{y} =1a^{y} =a^{0} a^{y}$

이므로, 위에서와 같이 정의하면 $\displaystyle a^{x+y} =a^{x} a^{y}$가 모든 실수 $\displaystyle x, y$에 대해 성립함을 알 수 있다.