상경계열 2번

(1) 오늘 $\displaystyle P$원을 예금한다고 하자. 매 년 4%의 이자가 발생하므로 1년 뒤에는 원금과 이자를 포함하여 $\displaystyle P(1+0.04)$원 만큼의 금액을 가지게 된다. 2년 후에는 $\displaystyle P(1+0.04)$원을 원금으로 다시 이자가 발생하므로 전체 금액은 $\displaystyle P(1+0.04)^{2}$원이 된다. 그러면 2년 후에 400만원을 만들기 위해서 예금해야 하는 금액은 다음의 방정식

$\displaystyle P(1+0.04)^2=400\text{만원}$

을 풀면 된다. 답은 $\displaystyle P=\frac{400\text{만원}}{1.04^2}=3{,}698{,}225\text{원}$ 이다.

(2) 이 연금의 현재가치를 $\displaystyle P$라고 하면

$\displaystyle P=\frac C{1+r}+\frac C{(1+r)^2}+\frac C{(1+r)^3}+\cdots$

인 무한등비급수이고, $\displaystyle \frac1{1+r}<1$이기 때문에 $\displaystyle P$는 수렴한다. 따라서,

$\displaystyle P=\frac{\frac C{1+r}}{1-\frac1{1+r}}=\frac C{1+r-1}=\frac Cr$

가 된다.

(3) (2)번 문제와 마찬가지로 이 연금의 현재가치를 $\displaystyle P$라고 하면

$\displaystyle P=\frac C{1+r}+\frac{C(1+g)}{(1+r)^2}+\frac{C(1+g)^2}{(1+r)^3}+\cdots$

인 무한등비급수가 된다. 이 때 $\displaystyle g \ge r$이면 $\displaystyle \frac{1+g}{1+r}\ge1$이므로 이 급수는 발산하고, $\displaystyle g<r$이면 $\displaystyle \frac{1+g}{1+r}<1$이므로 P는 수렴한다. 이 때

$\displaystyle P=\frac{\frac C{1+r}}{1-\frac{1+g}{1+r}}=\frac C{1+r-(1+g)}=\frac C{r-g}$

가 된다.

(4) (2),(3)번 문제와 같은 방식으로 이 연금의 현재가치를 계산할 수 있다. 다른 방법으로는 이 문제의 연금을 (2)번 문제와 같이 영원히 $\displaystyle C$원을 받는 연금 A와 $\displaystyle (n+1)$년 후부터 매년 $\displaystyle C$원을 영원히 받는 연금B의 차로 분해하여 접근하는 방법이 있다. 연금A의 현재가치는

$\displaystyle P_A=\frac Cr$

이다. 연금B의 현재가치를 보면, 우선 $\displaystyle n$년 후의 연금B의 가치는 다음 해부터 $\displaystyle C$원을 영원히 받기 때문에 (2)번 문제의 연금과 같이 $\displaystyle \frac Cr$가 된다. 이것의 현재가치를 다시 구하면

$\displaystyle P_B=\frac{\frac Cr}{(1+r)^n}=\frac C{r(1+r)^n}$

이 된다. 따라서 이 문제의 연금의 가치는

$\displaystyle P=P_A-P_B=\frac Cr-\frac C{r(1+r)^n}=\frac Cr(1-\frac1{(1+r)^n})$

이다.