의예과 2번

(1) 우선 행렬 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_1&-a_2\\a_2&a_1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}b_1&-b_2\\b_2&b_1\end{pmatrix}\in S$에 대해$\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}a_1+b_1&-a_2-b_2\\a_2+b_2&a_1+b_1\end{pmatrix},\quad AB=\begin{pmatrix}a_1b_1-a_2b_2&-a_1b_2-a_2b_1\\a_1b_2+a_2b_1&a_1b_1-a_2b_2\end{pmatrix}$로 집합 $\displaystyle S$의 원소이다. 이때$\displaystyle f(A+B)=f\begin{pmatrix}a_1+b_1&-a_2-b_2\\a_2+b_2&a_1+b_1\end{pmatrix}=a_1+b_1+i(a_2+b_2)=a_1+ia_2+b_1+ib_2=f(A)+f(B)$이고,$\displaystyle f(AB)=f\begin{pmatrix}a_1b_1-a_2b_2&-a_1b_2-a_2b_1\\a_1b_2+a_2b_1&a_1b_1-a_2b_2\end{pmatrix}=a_1b_1-a_2b_2+i(a_1b_2+a_2b_1)=(a_1+ia_2)(b_1+ib_2)=f(A)f(B).$

만약 $\displaystyle f(A)=a_1+ia_2=b_1+ib_2=f(B)$라면, $\displaystyle a_1=b_1$이고 $\displaystyle a_2=b_2$이다. 즉, $\displaystyle A=B$. 따라서 함수 $\displaystyle f$는 1-1 함수이다. 또한, 임의의 복소수 $\displaystyle x+iy$에 대해$\displaystyle f\left(\begin{matrix}x&-y\\y&x\end{matrix}\right)=x+iy.$따라서 함수 $\displaystyle f$는 $\displaystyle S$에서 $\displaystyle C$위로의 함수이다. 결국, 함수 $\displaystyle f$는 $\displaystyle S$에서 $\displaystyle C$로의 일대일 대응이다.

임의의 세 복소수 $\displaystyle z_1,z_2,z_3$에 대해 $\displaystyle f(A)=z_1,\ f(B)=z_2,\ f(C)=z_3$인 집합 $\displaystyle S$의 행렬 $\displaystyle A,B,C$가 존재한다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}(z_1z_2)z_3&=(f(A)f(B))f(C)=f(AB)f(C)\\&=f((AB)C)=f(A(BC))=f(A)f(BC)=f(A)(f(B)f(C))=z_1(z_2z_3).\end{aligned}$

(2) 집합 $\displaystyle S^1$의 두 원소 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_1&-a_2\\a_2&a_1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}b_1&-b_2\\b_2&b_1\end{pmatrix}$에 대해$\displaystyle |AB|=(a_1b_1-a_2b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2=a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=|A||B|=1$이므로 $\displaystyle S^1$은 행렬의 곱에 대해 닫혀있다. 마지막으로 임의의 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}\in S$에 대해, 만약 $\displaystyle x=y=0$이면$\displaystyle \begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=0\times\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$으로, 만약 $\displaystyle x,y$중 적어도 하나는 0이 아니라면$\displaystyle \begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}\begin{pmatrix}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{pmatrix}$Correction. 행렬 앞의 계수 $\displaystyle 1/\sqrt{x^2+y^2}$는 $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.로 나타낼 수 있다. 이 때 행렬$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\text{과 }\begin{pmatrix}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{pmatrix}$은 $\displaystyle S^1$의 원소이다.