자연계열 2번

(1) [해]$\displaystyle \begin{aligned} I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}x\cdot\cos^{n-2}x\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^{2}x)\cdot\cos^{n-2}x\,dx \\ &=I_{n-2}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-2}x\cdot(-\sin x)\cdot\sin x\,dx \end{aligned}$

( 부분적분법 $\displaystyle \int u^{\prime}v=uv-\int uv^{\prime}$, 에서 $\displaystyle u=\frac{1}{n-1}\cos^{n-1}x$, $\displaystyle v=\sin x$ )

$\displaystyle \begin{aligned} &=I_{n-2}+\Biggl[\frac{1}{n-1}\cos^{n-1}x\sin x\Biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{n-1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\,dx \\ &=I_{n-2}-\left(\frac{1}{n-1}\right)I_{n} \end{aligned}$Correction. 마지막 적분의 $\displaystyle \cos^{n}$에는 $\displaystyle x$가 빠졌다. $\displaystyle \cos^{n}x$로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.정리하면 $\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$, $\displaystyle A_{n}=\frac{n-1}{n}$ ($\displaystyle n\ge 2$)

(2) [해] (1)에서$\displaystyle \cos x\le 1$이기 때문에 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n-1}x\cdot\cos x\,dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n-1}x\,dx$이 성립한다.따라서$\displaystyle I_{2n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n-1}x\cdot\cos x\,dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n-1}x\,dx=I_{2n-1}$이고$\displaystyle I_{2n+1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}x\cdot\cos x\,dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}x\,dx=I_{2n}$이다.

(3) [해] $\displaystyle n=0$인 경우 $\displaystyle I_{0}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\,dx=\frac{\pi}{2}$이고$\displaystyle n=1$인 경우 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=1$이다.(1)에서 $\displaystyle I_{0}=\frac{\pi}{2}$이고 $\displaystyle I_{1}=1$ 그리고 $\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$로부터$\displaystyle \frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}=\frac{\frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{1}{2}I_{0}}{\frac{2n-2}{2n-1}\cdot\frac{2n-4}{2n-3}\cdots\frac{2}{3}I_{1}}=2n\frac{\pi}{2}\left(\frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{3}{2}\right)^{2}=n\pi\left(\frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{3}{2}\right)^{2}$Correction. 괄호 안 곱의 마지막 인자는 $\displaystyle \frac{3}{2}$가 아니라 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. 뒤의 팩토리얼 표현과 최종 답에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

분모 : $\displaystyle 2n\cdot(2n-2)\cdot(2n-4)\cdots 2=2^{n}n!$분자 : $\displaystyle (2n-1)\cdot(2n-3)\cdot(2n-5)\cdots 3=\frac{(2n)!}{2n\cdot(2n-2)\cdot(2n-4)\cdots 2}=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$따라서 $\displaystyle \frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}=n\pi\left(\frac{(2n)!}{2^{n}n!\,2^{n}n!}\right)^{2}$이고 $\displaystyle \sqrt{\frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}}=\sqrt{n\pi}\left(\frac{(2n)!}{2^{n}n!\,2^{n}n!}\right)$이다.

$\displaystyle n!=C_{n}n^{n}e^{-n}\sqrt{n}$과 $\displaystyle (2n)!=C_{2n}(2n)^{2n}e^{-2n}\sqrt{2n}$를 대입하면$\displaystyle \sqrt{\frac{I_{2n}}{I_{2n-1}}}=\sqrt{n\pi}\left(\frac{C_{2n}\cdot(2n)^{2n}e^{-2n}\sqrt{2n}}{C_{n}^{2}2^{2n}n^{2n}e^{-2n}n}\right)=\frac{\sqrt{2\pi}\,C_{2n}}{C_{n}^{2}}$따라서 $\displaystyle \alpha_{n}=\frac{\sqrt{2\pi}\,C_{2n}}{C_{n}}$이고, $\displaystyle \alpha=\sqrt{2\pi}$이다.

$\displaystyle (p(n))^{2}=\frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}}=\frac{\frac{2n}{2n+1}\frac{2n-2}{2n-1}\cdots\frac{2}{3}I_{1}}{\frac{2n-2}{2n-1}\cdot\frac{2n-4}{2n-3}\cdots\frac{2}{3}I_{1}}=\frac{2n}{2n+1}$이다. $\displaystyle p(n)=\sqrt{\frac{2n}{2n+1}}$

(4) [해] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p(n)=\lim_{n\to\infty}\sqrt{1-\frac{1}{2n+1}}=1$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}C_{n}=C$이므로 $\displaystyle 1\ge\frac{\sqrt{2\pi}}{C}\ge 1$이 성립되어 $\displaystyle C=\sqrt{2\pi}$이다.