자연계열 1번

(1) 임의의 $\displaystyle x\in[-1,1]$에 대하여 제시문 (가)에 의해 다음 부등식이 성립한다.$\displaystyle I_{n}(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left\{1-(1-x^{2})\sin^{2}\theta\right\}^{\frac{n}{2}}d\theta\le\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left(e^{-(1-x^{2})\sin^{2}\theta}\right)^{\frac{n}{2}}d\theta=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{-\frac{n}{2}(1-x^{2})\sin^{2}\theta}d\theta\quad\cdots\cdots①$그런데, $\displaystyle \sin^{2}\theta$의 값은 $\displaystyle [0,\pi]$사이에서 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$에 대해 대칭이므로, 등식$\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{-\frac{n}{2}(1-x^{2})\sin^{2}\theta}d\theta=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{n}{2}(1-x^{2})\sin^{2}\theta}d\theta\quad\cdots\cdots②$이 성립한다.또한, 제시문 (나)를 이용하면 다음 부등식이 만족함을 알 수 있다.$\displaystyle \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{n}{2}(1-x^{2})\sin^{2}\theta}d\theta\le\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{n}{2}(1-x^{2})\left(\frac{2}{\pi}\theta\right)^{2}}d\theta\quad\cdots\cdots③$②와 ③을 ①에 적용하면, 부등식 $\displaystyle I_{n}(x)\le\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{n}{2}(1-x^{2})\left(\frac{2}{\pi}\theta\right)^{2}}d\theta$ 이 성립한다.

(2) ③의 우변 식에서 $\displaystyle \sqrt{\frac{n}{2}(1-x^{2})}\,\frac{2}{\pi}\theta$를 $\displaystyle u$로 치환을 하여 계산을 하면, 다음 등식$\displaystyle \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{n}{2}(1-x^{2})\left(\frac{2}{\pi}\theta\right)^{2}}d\theta=\sqrt{\frac{2}{n(1-x^{2})}}\int_{0}^{\sqrt{\frac{n(1-x^{2})}{2}}}e^{-u^{2}}du\quad\cdots\cdots④$이 성립한다. (1)의 부등식과 식 ④를 이용하여 다음 부등식$\displaystyle \begin{aligned} I_{n}(x) &\le\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{n}{2}(1-x^{2})\left(\frac{2}{\pi}\theta\right)^{2}}d\theta=\sqrt{\frac{2}{n(1-x^{2})}}\int_{0}^{\sqrt{\frac{n(1-x^{2})}{2}}}e^{-u^{2}}du \\ &\le\sqrt{\frac{2}{n(1-x^{2})}}\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}du \end{aligned}$을 구할 수 있다.

함수 $\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}$은 $\displaystyle x=0$ 에 대하여 대칭이므로, 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 이다.Correction. 여기서 제시문 (나)는 제시문 (다)의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 부등식$\displaystyle I_{n}(x)\le\sqrt{\frac{2}{n(1-x^{2})}}\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}du=\sqrt{\frac{2}{n(1-x^{2})}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\sqrt{\frac{\pi}{2n(1-x^{2})}}$이 성립한다. 모든 $\displaystyle x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$에 대하여 $\displaystyle 1-x^{2}\ge\frac{3}{4}$이므로, $\displaystyle I_{n}(x)\le\sqrt{\frac{2\pi}{3n}}\le\frac{2}{\sqrt{n}}$ 이 성립한다.

(3) (2)의 결과에 의해 부등식 $\displaystyle \left|P_{n}(x)\right|\le\frac{2}{\sqrt{n}}$과 $\displaystyle \left|P_{n}^{\prime}(x)\right|\le\frac{4n}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{n-1}}=\frac{8n}{3\sqrt{n-1}}\le4\sqrt{n}$ 이 만족된다.Caution. $\displaystyle n=1$이면 문제에서 정의하지 않은 $\displaystyle I_0(x)$가 나오고, 이 풀이에서는 $\displaystyle \sqrt{n-1}$로 나눌 수 없다. $\displaystyle I_0(x)=1$로 보충하고 $\displaystyle n=1$을 따로 확인하면 같은 결론을 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 부등식$\displaystyle \left|P_{n}(x)-P_{n}(y)\right|\le\left|P_{n}(x)\right|+\left|P_{n}(y)\right|\le\frac{4}{\sqrt{n}},\quad\left|P_{n}(x)-P_{n}(y)\right|=\left|\int_{y}^{x}P_{n}^{\prime}(t)dt\right|\le4\sqrt{n}\left|x-y\right|$이 성립한다.실수 $\displaystyle x,y\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ 에 대하여$\displaystyle \left|P_{n}(x)-P_{n}(y)\right|=\left|P_{n}(x)-P_{n}(y)\right|^{\frac{1}{2}}\cdot\left|P_{n}(x)-P_{n}(y)\right|^{\frac{1}{2}}\le\left(\frac{4}{\sqrt{n}}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(4\sqrt{n}\left|x-y\right|\right)^{\frac{1}{2}}=4\left|x-y\right|^{\frac{1}{2}}$이 성립한다.