의예과 2번

(1) $\displaystyle \sqrt5=\frac{(\sqrt5+2)a_k+a_{k-1}}{(\sqrt5+2)b_k+b_{k-1}}$이 성립한다는 사실은$\displaystyle \sqrt5(2b_k+b_{k-1})+5b_k=\sqrt5a_k+(2a_k+a_{k-1})$이 성립한다는 것과 같고, 무리수의 상등을 이용하면 다음 두 식이 성립한다는 것과 동치이다.$\displaystyle a_k=2b_k+b_{k-1}$ ············ (a)$\displaystyle 5b_k=2a_k+a_{k-1}$ ············ (b)

이제 수학적 귀납법을 사용하여 모든 양의 정수 $\displaystyle k$에 대하여 식 $\displaystyle (a),(b)$가 성립함을 보이자. 먼저 $\displaystyle k=1$이면, 초기값 $\displaystyle a_0=2,\ a_1=9,b_0=1,b_1=4$로부터 $\displaystyle a_1=2b_1+b_0,\ 5b_1=2a_1+a_0$가 만족된다. 이제 $\displaystyle k$보다 작거나 같은 양의 정수들에 대하여 식 $\displaystyle (a),(b)$가 성립한다고 가정하면,$\displaystyle a_{k+1}=4a_k+a_{k-1}=4(2b_k+b_{k-1})+(2b_{k-1}+b_{k-2})=2(4b_k+b_{k-1})+(4b_{k-1}+b_{k-2})=2b_{k+1}+b_k$이고$\displaystyle 5b_{k+1}=5(4b_k+b_{k-1})=4(2a_k+a_{k-1})+(2a_{k-1}+a_{k-2})=2(4a_k+a_{k-1})+(4a_{k-1}+a_{k-2})=2a_{k+1}+a_k$가 되어 식 $\displaystyle (a),(b)$가 증명된다.Caution. 수학적 귀납법에서는 귀납 단계에 필요한 초기 경우를 모두 확인해야 한다. 대학 예시답안의 귀납 단계에서는 $\displaystyle k$와 $\displaystyle k-1$에서 성립하는 식을 함께 사용하므로, $\displaystyle k=1$뿐 아니라 $\displaystyle k=2$일 때도 확인해야 한다. $\displaystyle a_2=38,\ b_2=17$이므로 $\displaystyle a_2=2b_2+b_1,\ 5b_2=2a_2+a_1$이 모두 성립하며, 이를 추가하면 대학의 증명이 완성된다.

(2) $\displaystyle \sqrt5=\frac{(\sqrt5+2)a_k+a_{k-1}}{(\sqrt5+2)b_k+b_{k-1}}$라는 사실과 제시문에 주어진 식을 이용하면,$\displaystyle \sqrt5-\frac{a_k}{b_k}=\frac{(-1)^k}{((\sqrt5+2)b_k+b_{k-1})b_k}$를 얻게 된다. 따라서$\displaystyle \left|\sqrt5-\frac{a_k}{b_k}\right|=\left|\frac{(-1)^k}{((\sqrt5+2)b_k+b_{k-1})b_k}\right|<\frac1{(4b_k+b_{k-1})b_k}=\frac1{b_{k+1}b_k}<\frac1{b_k^2}$이 성립한다.

(3) 만약 유리수 $\displaystyle \frac ab$가 부등식 $\displaystyle \left|\frac ab-\sqrt5\right|<\frac1{b^3}$을 만족한다면, $\displaystyle \frac ab\le\sqrt5+1$이 성립하므로,$\displaystyle \left|f\left(\frac ab\right)\right|=\left|\frac ab-\sqrt5\right|\left|\frac ab+\sqrt5\right|\le(2\sqrt5+1)\left|\frac ab-\sqrt5\right|<\frac6{b^3}$을 얻는다.

한편 $\displaystyle \left|f\left(\frac ab\right)\right|=\left|\frac{a^2}{b^2}-5\right|=\left|\frac{a^2-5b^2}{b^2}\right|$에서, $\displaystyle \sqrt5$는 무리수라는 사실에 착안하면 $\displaystyle a^2-5b^2$은 0이 되지 않음을 알 수 있다. 따라서 부등식$\displaystyle \left|f\left(\frac ab\right)\right|=\left|\frac{a^2-5b^2}{b^2}\right|\ge\frac1{b^2}$이 성립하게 된다.

이 두 부등식으로부터 $\displaystyle \frac1{b^2}<\frac6{b^3}$을 얻게 되어 $\displaystyle b$는 6보다 작게 된다. $\displaystyle 1\le b\le5$인 각각의 $\displaystyle b$에 대해 부등식 $\displaystyle \left|\frac ab-\sqrt5\right|<\frac1{b^3}$을 만족하는 유리수 $\displaystyle \frac ab$의 개수는 유한 개 임을 알 수 있다.