한양대 서울캠퍼스 2014학년도 모의 2회 자연계열 1번 해설

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 무한급수의 값을 구하는 방법으로, 급수의 각 항을 부분 항들의 합 또는 차로 나타내는 것을 생각할 수 있다. 예를 들어, 아래의 무한급수에서 $\displaystyle \frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\frac1{4\cdot5}+\cdots$ $\displaystyle k$ 번째 항은 $\displaystyle \frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$ 로 나타낼 수 있으므로, 제1항에서 제 $\displaystyle n$ 항까지의 부분합 $\displaystyle S_n$ 을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n(\frac1k-\frac1{k+1})=1-\frac1{n+1}$ 따라서, 무한급수의 값은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}(1-\frac1{n+1})=1$ 이 된다.

(나) 다음 무한급수의 값을 구해보자. $\displaystyle \frac3{1\cdot2\cdot3}+\frac5{2\cdot3\cdot4}+\frac7{3\cdot4\cdot5}+\frac9{4\cdot5\cdot6}+\cdots$ 급수의 $\displaystyle k$ 번째 항을 $\displaystyle \frac Ak+\frac B{k+1}+\frac C{k+2}$ 의 꼴로 생각한 후, 이를 이용해 제1항에서 제 $\displaystyle n$ 항까지의 부분합 $\displaystyle S_n$ 을 표현한다. 부분항들이 서로 상쇄되는 것을 생각하면, 최종적으로 $\displaystyle S_n$ 을 다음과 같이 간단히 쓸 수 있고 무한급수의 값이 $\displaystyle \frac54$ 임을 알 수 있다. $\displaystyle S_n=\frac54-\frac D{n^2+3n+2}$

(다) 조금 더 복잡한 꼴의 무한급수를 생각해보자. $\displaystyle \begin{aligned}S&=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+2)}\left[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n+2}\right]\\&=\sum_{n=1}^\infty\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)\left[1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n+2}\right]\\&=\frac12\left[\left(1-\frac13\right)\left(1+\frac12+\frac13\right)+\left(\frac12-\frac14\right)\left(1+\frac12+\frac13+\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right)\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\right)+\cdots\right]\\&=\frac12\left[\left(1+\frac12+\frac13\right)+\frac12\left(1+\frac12+\frac13+\frac14\right)+E\right]\end{aligned}$

1. 제시문 (나)에 알맞도록 상수 $\displaystyle A,B,C$ 를 찾으시오.

2. 제시문 (나)에 알맞도록 $\displaystyle n$ 에 대한 다항식 $\displaystyle D$ 를 찾으시오.

3. 제시문 (다)에 알맞는 실수 $\displaystyle E$ 의 값을 구하시오.

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1. $\displaystyle k$ 번째 항은, $\displaystyle \frac{2k+1}{k(k+1)(k+2)}=\frac Ak+\frac B{k+1}+\frac C{k+2}$ 이므로, $\displaystyle A=\frac12,\ B=1,\ C=-\frac32$ 이다.

2. $\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\left[\frac{\frac12}1+\frac12-\frac{\frac32}3\right]+\left[\frac{\frac12}2+\frac13-\frac{\frac32}4\right]+\left[\frac{\frac12}3+\frac14-\frac{\frac32}5\right]+\cdots\\&\quad+\left[\frac{\frac12}{n-2}+\frac1{n-1}-\frac{\frac32}n\right]+\left[\frac{\frac12}{n-1}+\frac1n-\frac{\frac32}{n+1}\right]+\left[\frac{\frac12}n+\frac1{n+1}-\frac{\frac32}{n+2}\right]\end{aligned}$ 부분 항들 중, $\displaystyle -\frac{\frac32}k+\frac1k+\frac{\frac12}k=0\ (k\ge3)$ 을 만족하는 세 짝을 찾을 수 있으므로 이것들을 상쇄하면, $\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\left[\frac{\frac12}1+\frac12\right]+\left[\frac{\frac12}2\right]+\left[-\frac{\frac32}{n+1}\right]+\left[\frac1{n+1}-\frac{\frac32}{n+2}\right]=\frac54-\frac{\frac12}{n+1}-\frac{\frac32}{n+2}\\&=\frac54-\frac1{n^2+3n+2}\left(2n+\frac52\right)\end{aligned}$

3. $\displaystyle S=\frac12\left[\left(1-\frac13\right)\left(1+\frac12+\frac13\right)+\left(\frac12-\frac14\right)\left(1+\frac12+\frac13+\frac14\right)+\left(\frac13-\frac15\right)\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\right)+\cdots\right]$ $\displaystyle \begin{aligned}2S&=\left(1+\frac12+\frac13\right)+\frac12\left(1+\frac12+\frac13+\frac14\right)\\&\quad-\frac13\left(1+\frac12+\frac13\right)+\frac13\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15\right)\\&\quad-\frac14\left(1+\frac12+\frac13+\frac14\right)+\frac14\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16\right)\\&\quad\cdots\end{aligned}$ $\displaystyle 2S=\left(1+\frac12+\frac13\right)+\frac12\left(1+\frac12+\frac13+\frac14\right)+\frac13\left(\frac14+\frac15\right)+\frac14\left(\frac15+\frac16\right)+\frac15\left(\frac16+\frac17\right)+\cdots$ $\displaystyle \begin{aligned}E&=\frac13\left(\frac14+\frac15\right)+\frac14\left(\frac15+\frac16\right)+\frac15\left(\frac16+\frac17\right)+\cdots\\&=\left[\frac1{3\cdot4}+\frac1{4\cdot5}+\frac1{5\cdot6}+\cdots\right]+\left[\frac1{3\cdot5}+\frac1{4\cdot6}+\frac1{5\cdot7}+\cdots\right]\\&=\frac13+\frac12\left[\frac13+\frac14\right]=\frac13+\frac7{24}=\frac{15}{24}=\frac58\end{aligned}$

다음 경우는 0점 처리됩니다.1) 답안지를 검정색 펜(볼펜, 연필, 샤프)으로 작성하지 않은 경우2) 자신의 신원을 드러내는 표기나 표현을 한 경우3) 답안을 해당 답란에 작성하지 않은 경우

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자연계열 1번

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