자연계열 2번

1. (15점) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac{2k+n}n\right)^{13}$에서 $\displaystyle \frac{2k+n}n=1+k\frac2n=1+k\frac{3-1}n$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac{2k+n}n\right)^{13}=\frac12\lim_{n\to\infty}\frac{3-1}n\sum_{k=1}^n\left(1+k\frac{3-1}n\right)^{13}=\frac12\int_1^3x^{13}\,dx=\frac12\Biggl[\frac1{14}x^{14}\Biggr]_1^3=\frac1{28}(3^{14}-1)$

2. (15점) 정적분의 기본정리를 사용하고 있는데, 이 정리를 사용하려면 피적분함수는 적분구간에서 연속이어야 한다. 그런데 함수 $\displaystyle \frac1x$는 $\displaystyle x=0$에서 연속이 아니고 0은 적분구간 $\displaystyle [-\frac1e,e]$에 속한다. 정적분의 기본정리를 사용할 수 없다.

3. (15점) $\displaystyle f(x)=\int_0^x\ln(\sin t+2)\,dt+C$($\displaystyle C$는 상수)이다. $\displaystyle f(0)=C$이므로 $\displaystyle C=3$. 그러므로 $\displaystyle f(x)=\int_0^x\ln(\sin t+2)\,dt+3$.

4. (30점) $\displaystyle f(x)=\int_0^x\ln(\sin t+a)\,dt$라 놓아도 일반성을 잃지 않는다. 어떤 정수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle x=2n\pi+y,\ 0\le y<2\pi$라 쓸 수 있다. 그러면, $\displaystyle f(x)=\int_0^{2n\pi+y}\ln(\sin t+a)\,dt=\int_0^{2n\pi}\ln(\sin t+a)\,dt+\int_{2n\pi}^{2n\pi+y}\ln(\sin t+a)\,dt$이고, $\displaystyle \ln(\sin x+a)$는 $\displaystyle x$대신 $\displaystyle x+2n\pi$를 대입해도 변함없는 함수이므로 $\displaystyle f(x)=n\int_0^{2\pi}\ln(\sin t+a)\,dt+\int_0^y\ln(\sin t+a)\,dt$라 쓸 수 있다.

그런데, $\displaystyle \int_0^y\ln(\sin t+a)\,dt$는 $\displaystyle y$에 대해 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 연속이므로 최댓값과 최솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle 0\le y<2\pi$인 범위에서 $\displaystyle \int_0^y\ln(\sin t+a)\,dt$는 유한한 범위의 값을 갖는다. 만약 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx>0$이면, $\displaystyle n\int_0^{2\pi}\ln(\sin t+a)\,dt$은 정수 $\displaystyle n$이 커지면 무한히 커지고, $\displaystyle n$이 무한히 작은 음수로 되면 무한히 작은 음수가 된다. $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx<0$이면, $\displaystyle n\int_0^{2\pi}\ln(\sin t+a)\,dt$은 $\displaystyle n$에 대해 반대로 움직인다. 따라서 $\displaystyle \int_0^{2\pi}(\sin x+a)\,dx\ne0$이면 $\displaystyle f(x)$는 최댓값과 최솟값을 가질 수 없다. 즉, $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx=0$인 것은 $\displaystyle f(x)$가 최댓값과 최솟값을 가질 필요조건이다.Correction. 한 주기의 적분에서 $\displaystyle \ln$이 빠졌다. 해당 적분은 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

만약 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx=0$이면$\displaystyle f(x+2\pi)=\int_0^{x+2\pi}\ln(\sin t+a)\,dt=\int_0^{2\pi}\ln(\sin t+a)\,dt+\int_{2\pi}^{x+2\pi}\ln(\sin t+a)\,dt=\int_0^x\ln(\sin t+a)\,dt=f(x)$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x$대신 $\displaystyle x+2n\pi$를 대입해도 변함없는 함수이다. 따라서 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값과 최솟값이 실수전체에서의 최댓값과 최솟값이 된다. 그런데 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 연속이므로 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 즉, $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx=0$인 것은 $\displaystyle f(x)$가 실수전체에서 최댓값과 최솟값을 가질 충분조건이다.

5. (25점) $\displaystyle 1<a<b$이면 $\displaystyle \ln(\sin x+a)<\ln(\sin x+b)$가 모든 $\displaystyle x$에 대해 성립한다. 따라서 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx<\int_0^{2\pi}\ln(\sin x+b)\,dx$가 성립한다. 그러므로 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx=0$인 $\displaystyle a$가 있다면 그것은 오직 하나이다.또한, $\displaystyle \ln(\sin x+3)>0$이 모든 $\displaystyle x$에 대해 성립하므로 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+3)\,dx>0$이 성립한다.

한편 ㉯의 조건에 의해 $\displaystyle a_0\ (a_0>1)$에 대해 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(a_0^2-\sin^2x)\,dx<0$이 성립한다고 하자. 그런데, $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a_0)\,dx=\int_0^\pi\ln(\sin x+a_0)\,dx+\int_\pi^{2\pi}\ln(\sin x+a_0)\,dx$이고, $\displaystyle x=y+\pi$로 치환하면$\displaystyle \int_\pi^{2\pi}\ln(\sin x+a_0)\,dx=\int_0^\pi\ln(-\sin y+a_0)\,dy=\int_0^\pi\ln(a_0-\sin x)\,dx$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a_0)\,dx&=\int_0^\pi\ln(\sin x+a_0)\,dx+\int_\pi^{2\pi}\ln(\sin x+a_0)\,dx\\&=\int_0^\pi\ln(a_0+\sin x)\,dx+\int_0^\pi\ln(a_0-\sin x)\,dx\\&=\int_0^\pi(\ln(a_0+\sin x)+\ln(a_0-\sin x))\,dx=\int_0^\pi\ln(a_0^2-\sin^2x)\,dx<0\end{aligned}$

이제 ㉮의 조건에 의해 중간값의 정리를 적용하면 $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx=0$이 성립하게 하는 $\displaystyle a$가 $\displaystyle a_0$과 3사이에 존재한다. 위에서 관찰한 것을 함께 고려하면, $\displaystyle \int_0^{2\pi}\ln(\sin x+a)\,dx=0$이 성립하게 하는 $\displaystyle a$가 오직 하나 있다는 것을 알 수 있다.