자연계열 1번

(1) $\displaystyle P(a)=a^n-a^n=0$이므로 $\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)$가 성립하는 다항식 $\displaystyle Q(x)$가 존재하고 $\displaystyle Q(x)=\sum_{j=0}^{n-1}a_jx^j$라 두고$\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)$의 양변의 계수를 비교하면 $\displaystyle Q(x)=a^{n-1}+a^{n-2}x+\cdots+ax^{n-2}+x^{n-1}$이다.$\displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)(a^{n-1}+\cdots+x^{n-1})}{x-a}=na^{n-1}$이다.

(2) $\displaystyle g(x)=x^n$이라두자(ㄱ) $\displaystyle n+k\ge0$인 경우$\displaystyle g(h(x))=x^{n+k}$이고 양변을 $\displaystyle x=a$에서 미분하면,$\displaystyle g'(h(a))h'(a)=(n+k)a^{n+k-1}$이고 $\displaystyle g'(h(a))=nh(a)^{n-1}=na^{\frac{(n+k)(n-1)}n}$이다.따라서 $\displaystyle h'(a)=\frac{n+k}n a^{n+k-1-\frac{(n+k)(n-1)}n}=\frac{n+k}n a^{\frac kn}$이다.(ㄴ) $\displaystyle n+k<0$인 경우 $\displaystyle -m=n+k$라 두면$\displaystyle g(h(x))=x^{n+k}=x^{-m}$이고 따라서 $\displaystyle x^mg(h(x))=1$이고 양변을 $\displaystyle x=a$에서 미분하면,$\displaystyle ma^{m-1}g(h(a))+a^mg'(h(a))h'(a)=0$이고 $\displaystyle g'(h(a))=nh(a)^{n-1}=na^{\frac{-m(n-1)}n}$이다.따라서 $\displaystyle h'(a)=-\frac{ma^{m-1}g(h(a))}{a^mg'(h(a))}=-\frac mn a^{-1+n+k+\frac{m(n-1)}n}=\frac{n+k}n a^{\frac kn}$이다.

(3) $\displaystyle h(x)=e^{\ln h(x)}=e^{\frac{n+k}n\ln x}$이므로$\displaystyle h'(x)=e^{\frac{n+k}n\ln x}\frac{n+k}n\frac1x=\frac{n+k}n x^{\frac{n+k}n-1}$이다.따라서 $\displaystyle h'(a)=\frac{n+k}n a^{\frac kn}$이다.

(4) 유리수 $\displaystyle r$에 대하여 모든 유리수는 $\displaystyle \frac mn\ ((m,n)=1,n>0)$로 나타낼 수 있고 $\displaystyle m-n=k$라 두면 $\displaystyle r=\frac{n+k}n$이므로(2)와 (3)의 관점에서 $\displaystyle x=a$에서 미분계수를 구하면 모두 $\displaystyle h'(a)=ra^{r-1}$인 것을 알 수 있다.유리수가 아닌 실수 $\displaystyle r$에 대하여는 (2)의 방법을 적용하여 풀 수 없고 (3)의 방법으로 풀면$\displaystyle h(x)=e^{\ln h(x)}=e^{r\ln x}$이므로 $\displaystyle h'(x)=e^{r\ln x}r\frac1x=rx^{r-1}$이다.따라서 $\displaystyle h'(a)=ra^{r-1}$이다.