자연계열 1번

1. $\displaystyle f(x)=\frac1{2-\sin x}-\frac1{2-\cos x}$함수 $\displaystyle f(x)$에서$\displaystyle \sin(x)=\sin(x+2\pi),\ \cos(x)=\cos(x+2\pi)$로 부터 $\displaystyle f(x)=f(x+2\pi)$임을 알 수 있다.

$\displaystyle \theta=2\pi$가 최소임을 보이자.우선 $\displaystyle f(x)=0$인 되는 $\displaystyle x$를 구하여 보면 (그래프개형에서 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 모두 구해보면)$\displaystyle f(x)=\frac1{2-\sin x}-\frac1{2-\cos x}=\frac{\sin x-\cos x}{(2-\sin x)(2-\cos x)}=0$에서분모는 항상 0 보다 크므로 분자 $\displaystyle \sin x-\cos x=0$인 해를 구하자.$\displaystyle \sin x=\cos x$을 만족하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \frac\pi4\pm n\pi,\ n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$$\displaystyle f(x)=0$인 되는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \cdots,-\frac{11\pi}4,-\frac{7\pi}4,-\frac{3\pi}4,\frac\pi4,\frac{5\pi}4,\frac{9\pi}4,\cdots$가능성 있는 주기는 $\displaystyle \pi$와 $\displaystyle 2\pi$이다.모든 $\displaystyle x$에 대해서 $\displaystyle f(x)=f(x+2\pi)$이 만족됨을 보였으므로주기가 $\displaystyle \pi$가 아님을 보이면 된다.주기 $\displaystyle \theta$가 $\displaystyle \theta=\pi$이라면$\displaystyle \theta=\pi$인 경우는 $\displaystyle f(x+\pi)=\frac1{2+\sin x}-\frac1{2+\cos x}$모든 $\displaystyle x$에 대해서$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{(2-\sin x)(2-\cos x)}=\frac{-\sin x+\cos x}{(2+\sin x)(2+\cos x)}=f(x+\pi)$를 만족해야 한다.$\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{(2-\sin x)(2-\cos x)}=\frac{-\sin x+\cos x}{(2+\sin x)(2+\cos x)}$를 정리하면$\displaystyle \frac{(\sin x-\cos x)\{(2-\sin x)(2-\cos x)+(2+\sin x)(2+\cos x)\}}{(2-\sin x)(2-\cos x)(2+\sin x)(2+\cos x)}=0$는 모든 $\displaystyle x$에 대해서 만족하지 않는다.이유는 분모는 항상 0 보다 크고분자가 $\displaystyle (\sin x-\cos x)\{(2-\sin x)(2-\cos x)+(2+\sin x)(2+\cos x)\}$에서모든 $\displaystyle x$에 대해서 $\displaystyle (2-\sin x)(2-\cos x)+(2+\sin x)(2+\cos x)>0$이므로모든 $\displaystyle x$에 대해서 $\displaystyle f(x)=f(x+\pi)$이 만족되지 않는다.따라서 주기가 $\displaystyle \pi$일 수 없다.

2. 방정식 $\displaystyle f(x)=g(x)$를 만족하는 해 $\displaystyle x$를 모두 구하시오.$\displaystyle f(x)=\frac1{2-\sin x}-\frac1{2-\cos x}=\frac2{4-\sin^2x}-\frac2{4-\cos^2x}=g(x)$$\displaystyle \frac{(2+\sin x)(4-\cos^2x)-(4-\sin^2x)(2+\cos x)-2(4-\cos^2x)+2(4-\sin^2x)}{(4-\sin^2x)(4-\cos^2x)}=0$분모는 0 이 아니므로$\displaystyle (2+\sin x)(4-\cos^2x)-(4-\sin^2x)(2+\cos x)-2(4-\cos^2x)+2(4-\sin^2x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x$를 구하면 된다.분자 : $\displaystyle 4\sin x-\sin x\cos^2x-3\cos x-\cos^3x=0$=> $\displaystyle (\sin x-\cos x)(4+\sin x\cos x)=0$

$\displaystyle \sin x-\cos x=0$을 만족하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \pm n\cdot\pi+\frac\pi4,\ n=0,1,2,\cdots$

3. 함수 $\displaystyle g(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.$\displaystyle g^{\prime}(x)=4\sin x\cos x\left(\frac1{(4-\sin^2x)^2}+\frac1{(4-\cos^2x)^2}\right)=0$의 해를 구하면

$\displaystyle \left(\frac1{(4-\sin^2x)^2}+\frac1{(4-\cos^2x)^2}\right)>0$이므로 $\displaystyle \sin x\cos x=0$을 만족하는 $\displaystyle x$들이 극점이 된다.$\displaystyle \sin x\cos x=0$을 만족하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \pm n\frac\pi2,\ n=0,1,2,\cdots$

최댓값은 $\displaystyle n$이 홀수 일 때, $\displaystyle g(x)=\frac16$최솟값은 $\displaystyle n$이 0과 짝수 일 때, $\displaystyle g(x)=-\frac16$

4. 부등식 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}f(x)\,dx<\int_0^{\frac\pi4}g(x)\,dx$이 만족됨을 설명하시오.문제 1-2에서$\displaystyle f(x)-g(x)=\frac{(\sin x-\cos x)(4+\sin x\cos x)}{(4-\sin^2x)(4-\cos^2x)}$이므로분모는 항상 0보다 크고분자 $\displaystyle (\sin x-\cos x)(4+\sin x\cos x)$는 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi4\right)$에서 0보다 작고 $\displaystyle x=\frac\pi4$에서 0이다.따라서 구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi4\right)$에서 $\displaystyle f(x)-g(x)<0$이므로, $\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\{f(x)-g(x)\}\,dx<0$이고$\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}f(x)\,dx<\int_0^{\frac\pi4}g(x)\,dx$이 성립한다.혹은 그림으로 설명