자연계열 1번

1. 만약 $\displaystyle x_m=x_{m+l}$인 자연수 $\displaystyle m$과 $\displaystyle l$이 존재한다면,$\displaystyle \frac1{p(x_m)}+\sum_{k=1}^{m-1}\frac1{x_k}=1$이고 $\displaystyle \frac1{p(x_{m+l})}+\sum_{k=1}^{m+l-1}\frac1{x_k}=1$이므로=> $\displaystyle \frac1{p(x_m)}+\sum_{k=1}^{m-1}\frac1{x_k}=1=\frac1{p(x_{m+l})}+\sum_{k=1}^{m+l-1}\frac1{x_k}$=> $\displaystyle \frac1{p(x_m)}-\frac1{p(x_{m+l})}=\sum_{k=m}^{m+l-1}\frac1{x_k}$$\displaystyle p(x_m)=p(x_{m+l})$이므로 $\displaystyle \sum_{k=m}^{m+l-1}\frac1{x_k}=0$이다. 이는 모순이다.그러므로 $\displaystyle x_m=x_{m+l}$인 자연수 $\displaystyle m$과 $\displaystyle l$이 존재하지 않는다.

2. 1번에서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해서 $\displaystyle x_n\ne x_{n+1}$이므로임의의 $\displaystyle x_n$에 대해서 $\displaystyle \frac1{p(x_n)}-\frac1{p(x_{n+1})}=\frac1{x_n}>0$이므로 $\displaystyle p(x_n)<p(x_{n+1})$이다. ---(1)그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p(x_n)$은 발산한다.

3. $\displaystyle \frac1{p(x_2)}+\frac1{x_1}=1$이므로 $\displaystyle x_1=2,\ p(x_2)=2$이다.

$\displaystyle x_1=2,\ p(x_1)=1$ => $\displaystyle \frac1{p(x_3)}+\frac1{x_2}=\frac12$이므로 다음과 같은 3가지 경우를 고려할 수 있다.=> $\displaystyle \{p(x_3)=x_2=2^2\},\ \{p(x_3)=3,\ x_2=6\},\ \{p(x_3)=6,\ x_2=3\}$

=> $\displaystyle \{p(x_3)=x_2=2^2\}$ => $\displaystyle \frac1{p(x_4)}+\frac1{x_3}=\frac1{2^2}$ =>

$\displaystyle \{p(x_3)=3,\ x_2=6\}$ => $\displaystyle \frac1{p(x_4)}+\frac1{x_3}=\frac13$ =>

$\displaystyle \{p(x_3)=6,\ x_2=3\}$ => $\displaystyle \frac1{p(x_4)}+\frac1{x_3}=\frac16$ =>

이런 방법으로 계속 하다보면 제한된 시간에 $\displaystyle p(x_4)$를 구하기에 시간이 부족하다.혹은 $\displaystyle x_n=2^n$이고 다항식은 $\displaystyle p(x)=\frac12x$임을 유추할 수 있는데, 이런경우는 부분점수.

그런데, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해서 $\displaystyle \frac1{p(x_{n+1})}+\sum_{k=1}^n\frac1{x_k}=1$를 만족하므로=> $\displaystyle \frac1{p(x_n)}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{x_k}=1=\frac1{p(x_{n+1})}+\sum_{k=1}^n\frac1{x_k}$=> $\displaystyle \frac1{p(x_n)}-\frac1{x_n}=\frac1{p(x_{n+1})}>0$=> $\displaystyle \frac1{p(x_n)}-\frac1{x_n}>0$=> $\displaystyle 0<\frac{p(x_n)}{x_n}<1$ ------------------------------------ (2)위의 (2)에 의해 모든 $\displaystyle n$에 대해서 $\displaystyle 0<\frac{p(x_n)}{x_n}<1$를 만족하고(1)에 의해 $\displaystyle f(x_n)$값은 $\displaystyle n$이 커짐에 따라 증가하고 수열 $\displaystyle \{x_n\}_{n=1}^\infty$는 서로 다른 자연수들로 이루어져 있으므로 수열 $\displaystyle \{x_n\}_{n=1}^\infty$도 증가수열이고 다항식 $\displaystyle p(x)$의 차수는 1 이하임. -----------(3)Caution. 서로 다른 자연수로 이루어진 수열이라고 해서 증가수열인 것은 아니다. 다만 임의의 자연수 이하인 항은 유한 개이므로 $\displaystyle x_n\to\infty$이다. 따라서 $\displaystyle 0<\frac{p(x_n)}{x_n}<1$에서 $\displaystyle \deg p\le1$을 얻을 수 있다.Correction. 본문의 $\displaystyle f(x_n)$는 $\displaystyle p(x_n)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(3)에 의해서 $\displaystyle p(x_1)=1$이고 $\displaystyle p(x_2)=2$이므로 다항식 $\displaystyle p(x)$는 상수함수가 아니다.그러므로 다항식은 $\displaystyle p(x)=cx$이다.$\displaystyle x_1=2,\ p(x_1)=1$ => $\displaystyle f(2)=2c=1$ => $\displaystyle c=\frac12$ => $\displaystyle p(x)=\frac12x$Correction. 본문의 $\displaystyle f(2)$는 $\displaystyle p(2)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle p(x_2)=2$ => $\displaystyle p(x_2)=\frac12x_2=2$ => $\displaystyle x_2=4$$\displaystyle p(x_3)=4$ => $\displaystyle p(x_3)=\frac12x_3=4$ => $\displaystyle x_3=8$.... $\displaystyle x_n=2^n$이고 다항식은 $\displaystyle p(x)=\frac12x$$\displaystyle p(x_4)=8$