상경계열 2번

1. 조건 <나>로부터 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle 2\le x<4$에서 $\displaystyle f(x)=f(x-2)+2=(x-2-a)^3+b(x-2)+2$이고, 이런 과정을 반복하면 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle 2k\le x<2k+2$($\displaystyle k$는 정수)에서 다항함수 $\displaystyle y=(x-2k-a)^3+b(x-2k)+2k$와 일치함을 알 수 있다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle 2k<x<2k+2$($\displaystyle k$는 정수)에서 연속이므로 $\displaystyle x=2k$에서 연속이면 실수 전체의 집합에서 연속이다. 그런데 $\displaystyle f(2k)=\lim_{x\to2k+0}f(x)$임은 자명하므로 식 $\displaystyle f(2k)=\lim_{x\to2k-0}f(x)$이 성립하면 된다.그런데 $\displaystyle f(2k)=f(0)+2k=-a^3+2k$이고 $\displaystyle \lim_{x\to2k-0}f(x)=\lim_{x\to2-0}f(x)+2k-2=(2-a)^3+2b+2k-2$이다.그러므로 방정식 $\displaystyle -a^3+2k=(2-a)^3+2b+2k-2$, 즉 $\displaystyle b=-3a^2+6a-3$을 얻는다.$\displaystyle \therefore2a^2+b=-a^2+6a-3$은 $\displaystyle a=3$일 때 최댓값 6을 갖는다.

2. 함수 $\displaystyle f(x)$가 미분가능하면 연속이므로 1번의 풀이로부터 $\displaystyle b=-3a^2+6a-3$이다.또한 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle 2k<x<2k+2$($\displaystyle k$는 정수)에서 미분가능하므로 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면$\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{f(2k+h)-f(2k)}h=\lim_{h\to0-}\frac{f(2k+h)-f(2k)}h$이 성립해야 한다. 그런데 문제의 조건으로부터$\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{f(2k+h)-f(2k)}h=3a^2+b$이고 $\displaystyle \lim_{h\to0-}\frac{f(2k+h)-f(2k)}h=3(2-a)^2+b$이다.따라서 방정식 $\displaystyle 3a^2+b=3(2-a)^2+b$이 성립해야 하므로 $\displaystyle a=1$이고, 함수의 연속조건으로부터$\displaystyle b=-3a^2+6a-3=0$이다.$\displaystyle \therefore2a^2+b$의 값은 $\displaystyle 2\cdot1^2+0=2$이다.

3. 구간 $\displaystyle 0\le x\le2$($\displaystyle k$는 정수)에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3(x-1)^2$이므로 문제의 조건으로부터 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle 0\le f^{\prime}(x)\le3$이다. 한편, $\displaystyle g(x)=mx-d-f(x)$라 하면 방정식 $\displaystyle f(x)+d=mx$의 해의 개수는 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축의 교점의 개수와 같다.(ⅰ) $\displaystyle m\le0$일 때: 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(x)=m-f^{\prime}(x)\le0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 감소함수이다. 또한 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,$$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty,\ \lim_{x\to-\infty}g(x)=\infty$임을 알 수 있다. 그러므로 이 경우 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축의 교점의 개수는 1개다. ($\displaystyle \because$사잇값정리)(ⅱ) $\displaystyle m\ge3$일 때: 이 경우 $\displaystyle g^{\prime}(x)=m-f^{\prime}(x)\ge0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 증가함수이다. 한편, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\infty,$$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$이므로($\displaystyle \because x$가 2만큼 증가할 때 $\displaystyle f(x)$는 2만큼 증가하지만 $\displaystyle mx-d$는 $\displaystyle 2m\ge6$만큼 증가) 이 경우도 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축의 교점의 개수는 1개다.(ⅲ) $\displaystyle 0<m<3$일 때: 이 경우 $\displaystyle x_0=1+\sqrt{\frac m3}$이라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x_0)=m$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x_0)=0$이다. 또한 $\displaystyle 1<x<x_0$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이므로 이 구간에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 증가하고 $\displaystyle x_0<x<2$일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)<0$이므로 이 구간에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 감소한다. 그러므로 적당한 $\displaystyle d$에 대하여 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 $\displaystyle x$축의 교점의 개수가 2이상이 됨을 알 수 있다.(ⅰ)−(ⅲ)으로부터 문제의 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle m$의 범위는 $\displaystyle 0<m<3$이다.