자연계열 2번

1. $\displaystyle m=20$, $\displaystyle n=15$일 때, $\displaystyle p(x)=(1-x)^{20}(1+x)^{15}=(1-x^{2})^{15}(1-x)^{5}=p_{1}(x)p_{2}(x)$이다.여기서 $\displaystyle p_{1}(x)=(1-x^{2})^{15}$, $\displaystyle p_{2}(x)=(1-x)^{5}$이다.다항식 $\displaystyle p(x)$에서 $\displaystyle x^{7}$의 계수 $\displaystyle a_{7}$는$\displaystyle \begin{aligned} a_{7} &={}_{15}C_{1}\cdot{}_{5}C_{5}\cdot(-1)^{1}(-1)^{5}+{}_{15}C_{2}\cdot{}_{5}C_{3}\cdot(-1)^{2}(-1)^{3}+{}_{15}C_{3}\cdot{}_{5}C_{1}\cdot(-1)^{3}(-1)^{1} \\\\ &=15\cdot 1+\frac{15\times 14}{2}\cdot\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2}\cdot(-1)+\frac{15\times 14\times 13}{3\times 2}\cdot 5 \\\\ &=1240 \end{aligned}$

2. $\displaystyle p(x)=(1-x)^{m}(1+x)^{n}=(1-x)\left[(1-x)^{m-1}(1+x)^{n}\right]=q(x)-xq(x)$에서양변의 $\displaystyle x^{k}$의 계수를 비교하면, $\displaystyle a_{k}=b_{k}-b_{k-1}$ $\displaystyle \cdots\cdots$ ①$\displaystyle p(x)=\sum_{k=0}^{m+n}a_{k}x^{k}=(1-x)^{m}(1+x)^{n}$의 양변을 미분하면,$\displaystyle p^{\prime}(x)=\sum_{k=1}^{m+n}ka_{k}x^{k-1}=-m(1-x)^{m-1}(1+x)^{n}+n(1-x)^{m}(1+x)^{n-1}=-mq(x)+nr(x)$이다.그러므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m+n}ka_{k}x^{k-1}=-m\sum_{k=0}^{m+n-1}b_{k}x^{k}+n\sum_{k=0}^{m+n-1}c_{k}x^{k}$이다.

위 등식에서 $\displaystyle x^{k-1}$의 계수를 비교하면, $\displaystyle ka_{k}=-mb_{k-1}+nc_{k-1}$ $\displaystyle \cdots\cdots$ ②

식 ②의 $\displaystyle a_{k}$ 대신에 식 ①을 대입하면,$\displaystyle k(b_{k}-b_{k-1})=-mb_{k-1}+nc_{k-1}\ \Rightarrow\ (m-k)b_{k-1}+kb_{k}-nc_{k-1}=0$

3. $\displaystyle p(x)=(1-x)^{m}(1+x)^{n}=\left[(1-x)^{m}(1+x)^{n-1}\right](1+x)=r(x)+xr(x)$에서양변의 $\displaystyle x^{k}$의 계수를 비교하면, $\displaystyle a_{k}=c_{k}+c_{k-1}$ $\displaystyle \cdots\cdots$ ③

식 ②의 $\displaystyle a_{k}$ 대신에 식 ③을 대입하면,$\displaystyle k(c_{k}+c_{k-1})=-mb_{k-1}+nc_{k-1}\ \Rightarrow\ mb_{k-1}+kc_{k}-(n-k)c_{k-1}=0$