상경계열 2번

1. 주어진 음이 아닌 정수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}X&=\lim_{x\to k}\frac{x^2-k^2}{\sqrt{x^2+3kx}-2k}=\lim_{x\to k}\frac{(x+k)(x-k)}{\sqrt{x^2+3kx}-2k}=\lim_{x\to k}\frac{(x+k)(x-k)(\sqrt{x^2+3kx}+2k)}{x^2+3kx-4k^2}\\&=\lim_{x\to k}\frac{(x+k)(\sqrt{x^2+3kx}+2k)}{x+4k}=\frac{8k^2}{5k}=\frac{8k}5\end{aligned}$

이 성립한다. 동전을 세 번 던졌을 때 앞면이 나온 횟수를 $\displaystyle k$라 정의했으므로 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서$\displaystyle \mathrm E(X)=0\cdot\frac18+\frac85\cdot\frac38+\frac{16}5\cdot\frac38+\frac{24}5\cdot\frac18=\frac{12}5$$\displaystyle \mathrm V(X)=\mathrm E(X^2)-\mathrm E(X)^2=0^2\cdot\frac18+\left(\frac85\right)^2\cdot\frac38+\left(\frac{16}5\right)^2\cdot\frac38+\left(\frac{24}5\right)^2\cdot\frac18-\left(\frac{12}5\right)^2=\frac{48}{25}$$\displaystyle \sigma(X)=\frac{4\sqrt3}5$따라서 답은 $\displaystyle \frac{4\sqrt3}5$이다.

2. 주어진 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f'(x)=3x^2-2kx-k^2=(x-k)(3x+k)$이므로 구간 $\displaystyle [0,2k]$에서의 함수의 최솟값은 $\displaystyle f(k)=k^3-k^3-k^3+9k=-k^3+9k=-k(k+3)(k-3)$이다. $\displaystyle k$의 값에 따른 $\displaystyle f(k)$의 값을 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수의 최솟값이 양수일 확률은 $\displaystyle \frac13$이고, 1800번의 시행에서 함수의 최솟값이 양수인 횟수를 $\displaystyle X$라 하면 확률변수 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B\left(1800,\frac13\right)$를 따른다.

$\displaystyle n=1800$이 충분히 크므로 제시문 <나>에 의해 $\displaystyle X$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(600,20^2)$을 따른다. 이를 이용하여 함수의 최솟값이 양수인 횟수가 590 이상 640 이하일 확률을 계산하면

$\displaystyle \mathrm P(590\le X\le640)=\mathrm P\left(\frac{590-600}{20}\le Z\le\frac{640-600}{20}\right)=\mathrm P(-0.5\le Z\le2)=0.1915+0.4772=0.6687$

3. 주어진 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle g(x)$를 구하자. $\displaystyle c=\int_0^k g(t)\,dt$라 하면 $\displaystyle g(x)=x^2+\frac{6c}7x+1$따라서$\displaystyle c=\int_0^k g(x)\,dx=\Biggl[\frac13x^3+\frac{3c}7x^2+x\Biggr]_0^k=\frac13k^3+\frac{3c}7k^2+k$정리하면$\displaystyle c=\frac{\frac13k^3+k}{1-\frac37k^2}=\frac{7k(k^2+3)}{3(7-3k^2)}$따라서 $\displaystyle k$의 값에 따른 $\displaystyle c$의 값, $\displaystyle g(x)$의 판별식, $\displaystyle g(x)$의 서로 다른 실근의 개수를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle X$를 $\displaystyle g(x)$의 서로 다른 실근의 개수라 하면, 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포는 다음과 같다.

따라서$\displaystyle \mathrm E(X)=0\cdot\frac25+1\cdot\frac3{10}+2\cdot\frac3{10}=\frac9{10}$$\displaystyle \mathrm V(X)=\mathrm E(X^2)-\mathrm E(X)^2=0^2\cdot\frac25+1^2\cdot\frac3{10}+2^2\cdot\frac3{10}-\left(\frac9{10}\right)^2=\frac{69}{100}$$\displaystyle \sigma(X)=\frac{\sqrt{69}}{10}$

문제에서 정의된 확률변수 $\displaystyle \overline X$는 모평균이 $\displaystyle \frac9{10}$이고 모표준편차 $\displaystyle \frac{\sqrt{69}}{10}$인 모집단에서 임의추출한 크기가 6900인 표본의 표본평균이다. $\displaystyle n=6900$이 충분히 크므로 제시문 <다>에 의해 $\displaystyle \overline X$는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm N\left(\frac9{10},\left(\frac1{100}\right)^2\right)$를 따른다.

$\displaystyle \mathrm P(\overline X\ge0.91)=\mathrm P\left(\overline X\ge\frac{91}{100}\right)=\mathrm P\left(Z\ge\frac{\frac{91}{100}-\frac9{10}}{\frac1{100}}\right)=\mathrm P(Z\ge1)=0.5-0.3413=0.1587$