자연계열 1번

1. $\displaystyle \tan \alpha_{n} = \frac{{n - ( n - 1 )}}{\frac{1}{2} n ( n + 1 ) - \frac{1}{2} n ( n - 1 )} = \frac{1}{n}$이므로, $\displaystyle \tan \alpha_{2} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \tan \alpha_{3} = \frac{1}{3}$이다.

따라서 $\displaystyle \tan ( \alpha_{2} + \alpha_{3} ) = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 1$이고, $\displaystyle \alpha_{2} + \alpha_{3}$는 예각이므로 $\displaystyle \alpha_{2} + \alpha_{3} = \frac{\pi}{4} ( = 45^\circ )$이다.

2. $\displaystyle \alpha_{k} = \alpha_{n} + \alpha_{m}$이면, $\displaystyle \tan \alpha_{k} = \tan ( \alpha_{n} + \alpha_{m} )$, $\displaystyle \frac{1}{k} = \frac{{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}}}{1 - \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}}$이 성립한다. 정리하면,

$\displaystyle ( n - k ) ( m - k ) = 1 + k^{2}$이고, 자연수 $\displaystyle k$에 대해 이 등식을 만족시키고 $\displaystyle n < m$인 순서쌍 $\displaystyle \left( n , m \right)$의 개수는 $\displaystyle 1 \le k \le 6$일 때, $\displaystyle 1$ 또는 $\displaystyle 2$이다.$\displaystyle k = 7$이면 $\displaystyle ( n - 7 ) ( m - 7 ) = 1 + 7^{2} = 50$을 만족시키고 $\displaystyle n < m$인 순서쌍 $\displaystyle ( n - 7 , m - 7 )$은 $\displaystyle \left( 1 , 50 \right)$, $\displaystyle \left( 2 , 25 \right)$, $\displaystyle \left( 5 , 10 \right)$으로 $\displaystyle 3$개 있다.따라서 $\displaystyle f ( k ) = 3$을 만족시키는 가장 작은 자연수는 $\displaystyle 7$이고, 이때 순서쌍 $\displaystyle \left( n , m \right)$은 $\displaystyle \left( 8 , 57 \right)$, $\displaystyle \left( 9 , 32 \right)$, $\displaystyle \left( 12 , 17 \right)$이다.

3. 직선 $\displaystyle L_n$은 $\displaystyle n-1$개의 직선 $\displaystyle L_1,L_2,\ldots,L_{n-1}$과 서로 다른 점에서 각각 한 번씩 만난다. 따라서 $\displaystyle L_1,L_2,\ldots,L_{n-1}$에 의해 나뉘는 평면에 $\displaystyle L_n$을 그리면 $\displaystyle n$개의 영역이 추가된다. 즉, $\displaystyle n\ge2$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle g(n)=g(n-1)+n$이 성립한다.

이 등식에 $\displaystyle n=2,3,\ldots,n$을 대입하고 변변 더해서 정리하면, $\displaystyle g(n)=\frac12(n^2+n+2)$를 얻는다.

$\displaystyle g(63)=2017<2020,\quad g(64)=2081>2020$이므로, $\displaystyle g(n)>2020$을 만족시키는 가장 작은 자연수 $\displaystyle n$은 64이다.