상경계열 2번

1. 제시문 (가)에서 주어진 함수 $\displaystyle f(x)$의 정의역은 $\displaystyle \{x\le-1\text{ or }3\ge x\}$이다. 문제에서 주어진 $\displaystyle x$의 범위와 교집합을 고려하면, $\displaystyle \{-5\le x\le-1\text{ or }3\le x\le7\}$이고 가능한 정수는 $\displaystyle -5,-4,-3,-2,-1,3,4,5,6,7$이다. 각 정수에 대응하는 $\displaystyle 0\le y\le f(x)$ 범위와 각 범위에 속하는 정수는 아래와 같다.Correction. 정의역의 $\displaystyle 3\ge x$는 $\displaystyle 3\le x$의 오기이다. 다음 줄의 범위와 정수 개수 계산은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}0\le y\le f(-5)&=\sqrt4=2&&\Rightarrow\ y=0,1,2\\0\le y\le f(-4)&=\sqrt3&&\Rightarrow\ y=0,1\\0\le y\le f(-3)&=\sqrt2&&\Rightarrow\ y=0,1\\0\le y\le f(-2)&=\sqrt1=1&&\Rightarrow\ y=0,1\\0\le y\le f(-1)&=\sqrt0=0&&\Rightarrow\ y=0\\0\le y\le f(3)&=\sqrt0=0&&\Rightarrow\ y=0\\0\le y\le f(4)&=\sqrt1=1&&\Rightarrow\ y=0,1\\0\le y\le f(5)&=\sqrt2&&\Rightarrow\ y=0,1\\0\le y\le f(6)&=\sqrt3&&\Rightarrow\ y=0,1\\0\le y\le f(7)&=\sqrt4=2&&\Rightarrow\ y=0,1,2\end{aligned}$정답: 20개

2. 제시문 (나)에서 주어진 함수 $\displaystyle f(x)=\frac12x^2$와 함수 $\displaystyle g(x)=\sqrt{2|x|}$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하기 위해 우선 함수 $\displaystyle f(x)=\frac12x^2$와 함수 $\displaystyle h(x)=\sqrt{2x}$가 역함수 관계인 것을 파악하자. 이 두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.두 함수의 두 교점은 $\displaystyle (0,0),(2,2)$임을 쉽게 확인 가능하다. 따라서 도형의 넓이는 $\displaystyle A=2\times\int_0^2\left(x-\frac{x^2}2\right)\,dx$로 계산가능하다.

$\displaystyle 2\times\int_0^2\left(x-\frac{x^2}2\right)\,dx=2\Biggl[\frac12x^2-\frac16x^3\Biggr]_0^2=2\left(2-\frac43\right)=\frac43$$\displaystyle g(x)$의 그래프는 $\displaystyle h(x)$의 그래프와 $\displaystyle h(x)$의 그래프를 $\displaystyle y$축으로 대칭한 그래프의 합이고, $\displaystyle f(x)$의 그래프는 $\displaystyle y$축 대칭이므로 구하고자 하는 도형의 넓이는 $\displaystyle 2A=\frac83$이다.정답: $\displaystyle \frac83$

3. 함수 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\big||x-1|-1\big|-1}$의 제곱근 내의 값이 0보다 크거나 같아야하므로 정의역은 $\displaystyle \big||x-1|-1\big|-1\ge0$이다. 즉, $\displaystyle |x-1|-1\ge1\text{ or }|x-1|-1\le-1$이고, 이는 다시 $\displaystyle (|x-1|-1\ge1\Leftrightarrow x\ge3\text{ or }x\le-1)\text{ or }|x-1|\le0$로 쓸 수 있다. 정리하면 정의역은 $\displaystyle \{x\le-1,x=1,x\ge3\}$이다. 따라서, 함수 $\displaystyle f(x)$는 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}\sqrt{-x-1}&\text{if }x\le-1\\0&\text{if }x=1\\\sqrt{x-3}&\text{if }x\ge3\end{cases}$함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프를 그려보면 함수 $\displaystyle g(x)=-x^2+1$의 그래프와는 두 점 $\displaystyle (-1,0),(1,0)$에서 만난다는 것을 알 수 있다. 따라서, 두 함수의 교점의 개수 $\displaystyle n$은 2이다.

$\displaystyle f(x)=2$의 근이 $\displaystyle -5,7$이므로 구하고자하는 두 점 P, Q는 $\displaystyle (-5,2),(7,2)$이다. 따라서, P, Q사이의 거리는 12이다.정답: 12