자연계열 1번

1. (i) $\displaystyle x=\frac\pi2;\ \sin\left(\frac\pi2-\cos\frac\pi2\right)=\sin\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \sin(x-\cos x)=\sin x$.(ii) $\displaystyle 0\le x<\frac\pi2;\ \cos x>0$이므로 $\displaystyle x-\cos x<x$이고 $\displaystyle \sin x$는 $\displaystyle 0\le x<\frac\pi2$에서 단조증가함수이므로$\displaystyle \sin(x-\cos x)<\sin x$.(iii) $\displaystyle \frac\pi2<x\le\pi;\ \cos x<0$이므로 $\displaystyle x-\cos x>x$이고 $\displaystyle \sin x$는 $\displaystyle \frac\pi2<x\le\pi$에서 단조감소함수이므로$\displaystyle \sin(x-\cos x)<\sin x$.

2. 주어진 함수는 원점에 대칭인 함수이므로, $\displaystyle \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$에서의 정적분 값은 0이다.

3. (1) $\displaystyle 2xf(x)-\cos2x=4x^2\cos2x-2x\sin x-\cos2x$(2) $\displaystyle 2x\{2xf(x)-\cos2x\}=8x^3\cos2x-4x^2\sin x-4x\cos2x+\sin x$Correction. 등식의 좌변에 $\displaystyle -f(x)$가 빠졌다. 좌변은 $\displaystyle 2x\{2xf(x)-\cos2x\}-f(x)$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(1)의 함수는 $\displaystyle y$축에 대칭인 함수, (2)의 함수는 원점에 대칭인 함수임을 쉽게 알 수 있다.그러므로 $\displaystyle \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\{2xf(x)-\cos2x\}\,dx+\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}[2x\{2xf(x)-\cos2x\}-f(x)]\,dx$$\displaystyle =2\int_0^{\frac\pi2}\{2xf(x)-\cos2x\}\,dx=2\int_0^{\frac\pi2}\{4x^2\cos2x-2x\sin x-\cos2x\}\,dx$이다.

한편, ■ $\displaystyle 2\int_0^{\frac\pi2}4x^2\cos2x\,dx=2\Biggl[2x^2\sin2x+2x\cos2x-\sin2x\Biggr]_0^{\frac\pi2}=-2\pi$,■ $\displaystyle -2\int_0^{\frac\pi2}2x\sin x\,dx=\Biggl[4x\cos x-4\sin x\Biggr]_0^{\frac\pi2}=-4$,■ $\displaystyle -2\int_0^{\frac\pi2}\cos2x\,dx=0$이므로, $\displaystyle \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\{2xf(x)-\cos2x\}\,dx+\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}[2x\{2xf(x)-\cos2x\}-f(x)]\,dx=-2\pi-4$이다.