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자연계열 1번

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한양대 서울캠퍼스 2021학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2021mo/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)

1. 닫힌구간 [0,π]\displaystyle [0,\pi]에서 sin⁡(x−cos⁡x)\displaystyle \sin(x-\cos x)와 sin⁡x\displaystyle \sin x의 크기를 비교하시오.

2. ∫−π2π2{xcos⁡2x+x3cos⁡x+sin⁡x} dx\displaystyle \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\{x\cos^2x+x^3\cos x+\sin x\}\,dx의 값을 구하시오.

3. f(x)=2xcos⁡2x−sin⁡x\displaystyle f(x)=2x\cos2x-\sin x일 때,∫−π2π2{2xf(x)−cos⁡2x} dx+∫−π2π2[2x{2xf(x)−cos⁡2x}−f(x)] dx\displaystyle \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\{2xf(x)-\cos2x\}\,dx+\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}[2x\{2xf(x)-\cos2x\}-f(x)]\,dx의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2021학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2021mo/jayeon_1

+20점 · 각 구간별로 x−cos⁡x\displaystyle x-\cos x의 값의 범위, sin⁡x\displaystyle \sin x의 증감을 파악하였는가?
+20점 · 정리된 결론을 올바르게 제시하였는가?

1. (i) x=π2; sin⁡(π2−cos⁡π2)=sin⁡π2\displaystyle x=\frac\pi2;\ \sin\left(\frac\pi2-\cos\frac\pi2\right)=\sin\frac\pi2이므로 sin⁡(x−cos⁡x)=sin⁡x\displaystyle \sin(x-\cos x)=\sin x.(ii) 0≤x<π2; cos⁡x>0\displaystyle 0\le x<\frac\pi2;\ \cos x>0이므로 x−cos⁡x<x\displaystyle x-\cos x<x이고 sin⁡x\displaystyle \sin x는 0≤x<π2\displaystyle 0\le x<\frac\pi2에서 단조증가함수이므로sin⁡(x−cos⁡x)<sin⁡x\displaystyle \sin(x-\cos x)<\sin x.(iii) π2<x≤π; cos⁡x<0\displaystyle \frac\pi2<x\le\pi;\ \cos x<0이므로 x−cos⁡x>x\displaystyle x-\cos x>x이고 sin⁡x\displaystyle \sin x는 π2<x≤π\displaystyle \frac\pi2<x\le\pi에서 단조감소함수이므로sin⁡(x−cos⁡x)<sin⁡x\displaystyle \sin(x-\cos x)<\sin x.

+20점 · y\displaystyle y축에 대칭인 함수, 원점에 대칭인 함수에 따른 정적분의 특성을 이용해 답을 구하였는가?

2. 주어진 함수는 원점에 대칭인 함수이므로, [−π2,π2]\displaystyle \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]에서의 정적분 값은 0이다.

+20점 · 답을 구하기 위해 실제 계산해야하는 정적분이 어떤 것인지 파악하였는가?

3. (1) 2xf(x)−cos⁡2x=4x2cos⁡2x−2xsin⁡x−cos⁡2x\displaystyle 2xf(x)-\cos2x=4x^2\cos2x-2x\sin x-\cos2x(2) 2x{2xf(x)−cos⁡2x}=8x3cos⁡2x−4x2sin⁡x−4xcos⁡2x+sin⁡x\displaystyle 2x\{2xf(x)-\cos2x\}=8x^3\cos2x-4x^2\sin x-4x\cos2x+\sin xCorrection. 등식의 좌변에 −f(x)\displaystyle -f(x)가 빠졌다. 좌변은 2x{2xf(x)−cos⁡2x}−f(x)\displaystyle 2x\{2xf(x)-\cos2x\}-f(x)이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(1)의 함수는 y\displaystyle y축에 대칭인 함수, (2)의 함수는 원점에 대칭인 함수임을 쉽게 알 수 있다.그러므로 ∫−π2π2{2xf(x)−cos⁡2x} dx+∫−π2π2[2x{2xf(x)−cos⁡2x}−f(x)] dx\displaystyle \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\{2xf(x)-\cos2x\}\,dx+\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}[2x\{2xf(x)-\cos2x\}-f(x)]\,dx=2∫0π2{2xf(x)−cos⁡2x} dx=2∫0π2{4x2cos⁡2x−2xsin⁡x−cos⁡2x} dx\displaystyle =2\int_0^{\frac\pi2}\{2xf(x)-\cos2x\}\,dx=2\int_0^{\frac\pi2}\{4x^2\cos2x-2x\sin x-\cos2x\}\,dx이다.

+20점 · 부분적분 등을 활용하여 정확한 값을 구하였는가?

한편, ■ 2∫0π24x2cos⁡2x dx=2[2x2sin⁡2x+2xcos⁡2x−sin⁡2x]0π2=−2π\displaystyle 2\int_0^{\frac\pi2}4x^2\cos2x\,dx=2\Biggl[2x^2\sin2x+2x\cos2x-\sin2x\Biggr]_0^{\frac\pi2}=-2\pi,■ −2∫0π22xsin⁡x dx=[4xcos⁡x−4sin⁡x]0π2=−4\displaystyle -2\int_0^{\frac\pi2}2x\sin x\,dx=\Biggl[4x\cos x-4\sin x\Biggr]_0^{\frac\pi2}=-4,■ −2∫0π2cos⁡2x dx=0\displaystyle -2\int_0^{\frac\pi2}\cos2x\,dx=0이므로, ∫−π2π2{2xf(x)−cos⁡2x} dx+∫−π2π2[2x{2xf(x)−cos⁡2x}−f(x)] dx=−2π−4\displaystyle \int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\{2xf(x)-\cos2x\}\,dx+\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}[2x\{2xf(x)-\cos2x\}-f(x)]\,dx=-2\pi-4이다.

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