자연계열 2번

1. $\displaystyle \cos(t)\cos\left(\frac\pi3-t\right)+\sin(t)\sin\left(\frac\pi3-t\right)=\cos\left(t-\left(\frac\pi3-t\right)\right)=\cos\left(2t-\frac\pi3\right)$$\displaystyle \cos(t)\cos\left(\frac\pi3-t\right)-\sin(t)\sin\left(\frac\pi3-t\right)=\cos\left(t+\left(\frac\pi3-t\right)\right)=\frac12$변변 빼서 정리하면, $\displaystyle \sin(t)\sin\left(\frac\pi3-t\right)=\frac12\cos\left(2t-\frac\pi3\right)-\frac14$이므로 $\displaystyle a=\frac12,\ b=2,\ c=-\frac\pi3,\ d=-\frac14$이다.따라서 구하는 답은 $\displaystyle \left\{\frac12,\ 2,\ -\frac\pi3,\ -\frac14\right\}$이다.

2. 먼저 삼각형 ABP의 넓이를 구하자. 그림으로부터 $\displaystyle \tan(t)=\frac hx,\ \tan\left(\frac\pi3-t\right)=\frac h{1-x}$이고,따라서 $\displaystyle h=\frac{\tan(t)\tan\left(\frac\pi3-t\right)}{\tan(t)+\tan\left(\frac\pi3-t\right)}=\frac{\sin(t)\sin\left(\frac\pi3-t\right)}{\sin\left(t+\left(\frac\pi3-t\right)\right)}=\frac2{\sqrt3}\sin(t)\sin\left(\frac\pi3-t\right)$이므로,삼각형 ABP의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot1\cdot h=\frac1{\sqrt3}\sin(t)\sin\left(\frac\pi3-t\right)$이다.

삼각형 PQR의 넓이 $\displaystyle S(t)$는(삼각형 ABC의 넓이) − (삼각형 PQR의 넓이) − (삼각형 BCQ의 넓이) − (삼각형 CAR의 넓이)= (삼각형 ABC의 넓이) − 3 · (삼각형 PQR의 넓이)Correction. 빼는 삼각형의 이름 $\displaystyle PQR$은 $\displaystyle ABP$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle =\frac{\sqrt3}4-3\cdot\frac1{\sqrt3}\sin(t)\sin\left(\frac\pi3-t\right)=\frac{\sqrt3}2\left(1-\cos\left(2t-\frac\pi3\right)\right)$이므로,$\displaystyle \int_0^{\frac\pi3}S(t)\,dt=\int_0^{\frac\pi3}\frac{\sqrt3}2\left(1-\cos\left(2t-\frac\pi3\right)\right)\,dt=\frac{\sqrt3}2\Biggl[t-\frac12\sin\left(2t-\frac\pi3\right)\Biggr]_0^{\frac\pi3}=\frac{\sqrt3}2\left(\frac\pi3-\frac{\sqrt3}2\right)=\frac{\sqrt3}6\pi-\frac34$이다.

3. 먼저 $\displaystyle P(t)$를 구하자. $\displaystyle (x\ln x)^{\prime}=\ln x+1$이므로 곡선 $\displaystyle y=x\ln x$에 (1,0)에서 접하는 직선의 기울기는 1이고 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x-1$이다. 따라서 부분적분을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}P(t)&=\int_1^tx\ln x-(x-1)\,dx=\Biggl[\frac12x^2\ln x\Biggr]_1^t-\int_1^t\frac12x\,dx-\int_1^tx-1\,dx\\&=\frac12t^2\ln t-\int_1^t\frac32x-1\,dx\\&=\frac12t^2\ln t-\Biggl[\frac34x^2-x\Biggr]_1^t\\&=\frac12t^2\ln t-\frac34t^2+t-\frac14\end{aligned}$

이다. 그리고 $\displaystyle Q(t)$를 구하자. $\displaystyle (\ln x)^{\prime}=\frac1x$이므로 곡선 $\displaystyle y=\ln x$에 접하고 (1,0)을 지나는 접선의 기울기는 1이고 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x-1$이다. 마찬가지로 부분적분을 이용하면$\displaystyle Q(t)=\int_1^t(x-1)-\ln x\,dx=\frac12t^2-t\ln t-\frac12$

을 얻는다. 한편, 양수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \ln x<x$이므로 $\displaystyle \ln x=\ln(\sqrt x)^2=2\ln\sqrt x<2\sqrt x$를 얻을 수 있고, 이를 이용하면 $\displaystyle x>1$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle 0<\frac{\ln x}x<\frac2{\sqrt x}$가 된다. 이때, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac2{\sqrt x}=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}x=0$이다.극한값을 구하면,$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{P(t)}{t\cdot Q(t)}=\lim_{t\to\infty}\frac{\frac12t^2\ln t-\frac34t^2+t-\frac14}{t\left(\frac12t^2-t\ln t-\frac12\right)}=\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{\ln t}{2t}-\frac3{4t}+\frac1{t^2}-\frac1{4t^3}}{\left(\frac12-\frac{\ln t}t-\frac1{2t^2}\right)}=0$임을 알 수 있다.