자연계열 1번

(1) 경기공장에서 생산되는 사과주스 병 $\displaystyle i$의 양을 $\displaystyle X_i$, 대구공장에서 생산되는 사과주스 병 $\displaystyle i$의 양을 $\displaystyle Y_i$라고 할 경우,

$\displaystyle m_a=\frac{\sum_{i=1}^{n_a}X_i}{n_a},\ m_b=\frac{\sum_{i=1}^{n_b}Y_i}{n_b}$로 표현할 수 있다.

이때, 두 공장 전체(즉, 경기공장과 대구공장)에서 하루 동안 생산되는 병당 사과주스 양의 평균은 전체 공장에서 생산되는 사과주스 양의 총합을 전체 공장에서 생산되는 사과주스의 개수로 나누어 구할 수 있다. 즉, 경기공장에서 생산되는 사과주스 양의 총합 $\displaystyle =\sum_{i=1}^{n_a}X_i=n_am_a$, 대구공장에서 생산되는 사과주스 양의 총합 $\displaystyle =\sum_{i=1}^{n_b}Y_i=n_bm_b$이고, 전체 공장에서 생산되는 사과주스의 개수는 $\displaystyle n_a+n_b$이므로, 전체 공장의 모평균은 $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{n_a}X_i+\sum_{i=1}^{n_b}Y_i}{n_a+n_b}=\frac{n_am_a+n_bm_b}{n_a+n_b}$이 된다.

(2)

$\displaystyle (\quad\text{㉠}\quad)\times\sigma_a^2+(\quad\text{㉡}\quad)\times\sigma_b^2+\frac{n_an_b}{(n_a+n_b)^2}\times(\quad\text{㉢}\quad)$

경기공장과 대구공장의 분산은 각각

$\displaystyle \sigma_a^2=\frac{\sum_{i=1}^{n_a}(X_i)^2}{n_a}-(m_a)^2,\ \sigma_b^2=\frac{\sum_{i=1}^{n_b}(Y_i)^2}{n_b}-(m_b)^2$로 표현될 수 있고,

공식 $\displaystyle \sigma^2=E(X^2)-E(X)^2$을 활용하여,

$\displaystyle \begin{aligned}\sigma_{a\cup b}^2&=\frac{\sum_{i=1}^{n_a}(X_i)^2+\sum_{i=1}^{n_b}(Y_i)^2}{n_a+n_b}-\left(\frac{\sum_{i=1}^{n_a}X_i+\sum_{i=1}^{n_b}Y_i}{n_a+n_b}\right)^2\\&=\frac{n_a(\sigma_a^2+(m_a)^2)+n_b(\sigma_b^2+(m_b)^2)}{n_a+n_b}-\left(\frac{n_am_a+n_bm_b}{n_a+n_b}\right)^2\\&=\frac{n_a}{n_a+n_b}\sigma_a^2+\frac{n_b}{n_a+n_b}\sigma_b^2+\frac{n_an_b}{(n_a+n_b)^2}(m_a-m_b)^2\end{aligned}$

즉, ㉠$\displaystyle =\frac{n_a}{n_a+n_b}$, ㉡$\displaystyle =\frac{n_b}{n_a+n_b}$, ㉢$\displaystyle =(m_a-m_b)^2$

(3) 각 공장별로 생산하는 사과주스 병의 개수와 병당 사과주스 양의 분산은 변화하지 않으므로, (2) 결과의 1, 2번째 항은 변하지 않는다. 3번째 항에 포함되어 있는 각 공장별 병당 사과주스 양의 평균값(즉, $\displaystyle m_a,m_b$)은 조절이 가능하므로, 이 값을 조절하여 전체 분산 식을 최소로 만들면 된다. 이때, 이 3번째 항은 언제나 0보다 크거나 같기 때문에, 이를 최소로 만드는 방법은 $\displaystyle m_a$와 $\displaystyle m_b$를 같게 하는 방법이며, 이렇게 하면 해당 항을 0으로 만들 수 있다. 즉, 두 공장에서 생산하는 병당 주스 양의 평균을 같도록 조절한다. 이때 분산은 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{n_a}{n_a+n_b}\sigma_a^2+\frac{n_b}{n_a+n_b}\sigma_b^2$