자연계열 2번

(1) $\displaystyle f(x)=(x^2-2a_1x+a_1^2)+\cdots+(x^2-2a_nx+a_n^2)=nx^2-2(a_1+\cdots+a_n)x+(a_1^2+\cdots+a_n^2)$은

최고차항계수가 양수인 이차함수이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2nx-2(a_1+\cdots+a_n)=0$인 점에서 최솟값을 취한다. 즉, $\displaystyle x=a=\frac1n(a_1+a_2+\cdots+a_n)$에서 최솟값을 취한다.

$\displaystyle a$는 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n$의 평균이며, 따라서

$\displaystyle f(a)=(a_1-a)^2+(a_2-a)^2+\cdots+(a_n-a)^2$는 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n$의 분산$\displaystyle \times n$이다.

(2) 주어진 점들의 좌표를 $\displaystyle P_1(a_1,b_1),P_2(a_2,b_2),\cdots,P_n(a_n,b_n)$라 하자.

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{PP_1}^{\,2}+\overline{PP_2}^{\,2}+\cdots+\overline{PP_n}^{\,2}&=\{(x-a_1)^2+(y-b_1)^2\}+\{(x-a_2)^2+(y-b_2)^2\}+\cdots+\{(x-a_n)^2+(y-b_n)^2\}\\&=\{(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+\cdots+(x-a_n)^2\}+\{(y-b_1)^2+(y-b_2)^2+\cdots+(y-b_n)^2\}\end{aligned}$

(1)의 풀이에 의해서 첫 번째 대괄호 안의 식은 $\displaystyle x=\frac1n(a_1+a_2+\cdots+a_n)$에서 최솟값을 취하고, 마찬가지로 두 번째 대괄호 안의 식은 $\displaystyle y=\frac1n(b_1+b_2+\cdots+b_n)$에서 최솟값을 취한다. 따라서 거리의 제곱의 합이 최소가 되는 점 $\displaystyle P_0$의 위치벡터는

$\displaystyle \overrightarrow{OP_0}=\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n,\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}n\right)=\frac1n(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n})$이다.

이때,

$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{P_0P_1}+\overrightarrow{P_0P_2}+\cdots+\overrightarrow{P_0P_n}&=(\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0})+(\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0})+\cdots+(\overrightarrow{OP_n}-\overrightarrow{OP_0})\\&=(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n})-n\overrightarrow{OP_0}=n\overrightarrow{OP_0}-n\overrightarrow{OP_0}=\vec0\end{aligned}$이다.

(3) $\displaystyle x\le c$이면 $\displaystyle |x-c|=-(x-c)$이고, $\displaystyle c\le x$이면 $\displaystyle |x-c|=(x-c)$이다. 따라서

$\displaystyle x\le a_1<a_2<\cdots<a_n$이면, $\displaystyle g(x)=|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots+|x-a_n|$

$\displaystyle =-(x-a_1)-(x-a_2)-\cdots-(x-a_n)=-nx+(a_1+\cdots+a_n)$

$\displaystyle a_1\le x\le a_2<\cdots<a_n$이면,

$\displaystyle g(x)=(x-a_1)-(x-a_2)-\cdots-(x-a_n)=(-n+2)x+(-a_1+\cdots+a_n)$

$\displaystyle a_1<a_2<\cdots<a_k\le x\le a_{k+1}<\cdots<a_n$이면 (단, $\displaystyle 1\le k\le n-1$),

$\displaystyle g(x)=(x-a_1)+\cdots+(x-a_k)-(x-a_{k+1})-\cdots-(x-a_n)=(-n+2k)x+(-a_1-\cdots+a_n)$

$\displaystyle a_1<a_2<\cdots<a_n\le x$이면,

$\displaystyle g(x)=(x-a_1)+(x-a_2)+\cdots+(x-a_n)=nx+(-a_1-\cdots-a_n)$이다.

즉, $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 꺾은선 그래프이고

각 구간 $\displaystyle (-\infty,a_1),(a_1,a_2),(a_2,a_3),\cdots,(a_{n-1},a_n),(a_n,\infty)$에서 기울기는

$\displaystyle -n,-n+2,-n+4,\cdots,n$이다. (기울기는 $\displaystyle -n$부터 $\displaystyle n$까지 2씩 증가)

전체적인 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\displaystyle n=2m+1$이 홀수이면 각 구간에서 기울기는 $\displaystyle -n,-n+2,\cdots,-1,1,\cdots,n$이고 구간 $\displaystyle (a_m,a_{m+1}),(a_{m+1},a_{m+2})$에서 그래프의 기울기가 각각 $\displaystyle -1,1$이므로 함수의 증감으로부터 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=a_{m+1}=a_{\frac{n+1}2}$에서 최솟값을 취한다.

최솟점 근방에서 그래프의 개형은 다음과 같다.

(※ 만약 홀수 $\displaystyle n$을 $\displaystyle n=2m+1$이 아니라 $\displaystyle n=2m-1$로 나타내었을 경우 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=a_m=a_{\frac{n+1}2}$에서 최솟값을 취한다.

$\displaystyle n=2m$이 짝수이면 각 구간에서 기울기는 $\displaystyle -n,-n+2,\cdots,-2,0,2,\cdots,n$이고 구간 $\displaystyle (a_m,a_{m+1})$과 그 왼쪽, 오른쪽 구간에서 그래프의 기울기가 각각 $\displaystyle 0,-2,2$이므로 함수의 증감으로부터 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle a_m\le x\le a_{m+1}$인 모든 $\displaystyle x$에서 최솟값을 취한다. 최솟점 근방에서 그래프의 개형은 다음과 같다.