자연계열 1번

(가) 질량중심은 물체 전체의 질량의 중심점으로 전체 질량이 질량중심에 있는 것처럼 외부 계와 작용한다.

(나) 예를 들어, 직선 위에 질량이 $\displaystyle m$으로 같은 두 물체가 $\displaystyle x_1,x_2$에 놓여 있다고 하자. 이들 두 물체는 $\displaystyle x_1$과 $\displaystyle x_2$의 중간 지점인 $\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}$에 질량이 $\displaystyle 2m$이 있는 것처럼 외부 계와 작용한다. 만일, 질량이 $\displaystyle m_1,m_2$로 서로 다른 물체가 각각 $\displaystyle x_1,x_2$에 놓여 있으면, 질량이 $\displaystyle m_1+m_2$인 물체가 질량 중심에 있는 것처럼 외부 계와 작용한다. 이런 경우 질량 중심은 어떻게 계산을 할까? 이것은 가중치를 갖는 평균으로 생각하여 구할 수 있다. 점 $\displaystyle x_1$에는 $\displaystyle \frac{m_1}{m_1+m_2}$의 가중치를 주고, 점 $\displaystyle x_2$에는 $\displaystyle \frac{m_2}{m_1+m_2}$의 가중치를 주어 질량 중심은 $\displaystyle \frac{m_1}{m_1+m_2}x_1+\frac{m_2}{m_1+m_2}x_2=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$로 계산할 수 있다. 특히, 질량이 $\displaystyle m_1=m_2$의 경우, 질량 중심은 $\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}$으로 앞에서 언급한 것과 같다. 일반적으로, 좌표공간에서 점 $\displaystyle (x_k,y_k,z_k)\ (k=1,2,\cdots,n)$에 각각 질량이 $\displaystyle m_k$인 물체가 놓여 있을 경우, 이들의 질량중심은 아래와 같다.$\displaystyle \left(\frac{x_1m_1+x_2m_2+\cdots+x_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n},\frac{y_1m_1+y_2m_2+\cdots+y_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n},\frac{z_1m_1+z_2m_2+\cdots+z_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\right)$

(다) 질량이 연속적으로 분포되어 있는 물체의 질량중심 $\displaystyle (\bar x,\bar y,\bar z)$은 구분 구적법에 의한 부피 계산과 같은 방법을 응용하여 적분을 이용하여 구한다. 예를 들어 균일한 밀도 $\displaystyle \rho$를 가지고 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $\displaystyle A(x)$인 연속체의 $\displaystyle x$방향의 질량중심 $\displaystyle \bar x$는 다음과 같이 구한다. 그림과 같이 $\displaystyle x$축 위의 구간 $\displaystyle [a,b]$를 $\displaystyle n$등분하여 양 끝점과 등분점의 $\displaystyle x$좌표를 각각$\displaystyle a=x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n=b$라 하고, 각 부분 구간의 길이를 $\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}$라 하자. 이때 밑면의 넓이 $\displaystyle A(x_k)$, 높이가 $\displaystyle \Delta x$인 원기둥의 부피는 $\displaystyle A(x_k)\Delta x$이므로, 질량은 $\displaystyle \rho A(x_k)\Delta x$이다. 또한, 가중치를 적용한 좌표는 $\displaystyle \rho x_kA(x_k)\Delta x$이다. 따라서 질량중심의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle \bar x$는$\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^n\rho x_kA(x_k)\Delta x}{\sum_{k=1}^n\rho A(x_k)\Delta x}$으로 근사되며, $\displaystyle \Delta x\to0$에 따른 극한을 취하여 다음을 구할 수 있다.$\displaystyle \bar x=\frac{\int_a^b\rho xA(x)\,dx}{\int_a^b\rho A(x)\,dx}$