자연계열 1번

[문제 1] 용기에 담긴 물의 부피는 회전체의 부피를 구하는 방법으로 다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 구할 수 있다.

(1) $\displaystyle 0\le h\le2b$일 때, 회전체를 $\displaystyle z$-축에 수직인 평면으로 자른 단면은 바깥쪽 원의 반지름은 $\displaystyle y_r=\sqrt{a^2-(z-a)^2}$이고, 안쪽 원의 반지름은 $\displaystyle y_l=\sqrt{b^2-(z-b)^2}$인 원환이다. 따라서 높이에 따른 단면적은$\displaystyle A(z)=\pi(y_r^2-y_l^2)=\pi(a^2-(z-a)^2-b^2+(z-b)^2)=2\pi(a-b)z$이다. 따라서 부피는 다음과 같다.$\displaystyle V=\int_0^h A(z)\,dz=\pi(a-b)h^2$

(2) $\displaystyle 2b\le h\le a$일 때, 반지름이 $\displaystyle a$인 반구의 높이가 $\displaystyle 0$에서 $\displaystyle h$까지 부피 $\displaystyle V_1$에서 반지름 $\displaystyle b$인 구의 부피를 빼면 원하는 부피를 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}V_1&=\int_0^h\pi y_r^2\,dz=\pi\int_0^h[a^2-(z-a)^2]\,dz=\pi\int_0^h[2az-z^2]\,dz\\&=\frac\pi3(3ah^2-h^3)\end{aligned}$이다. 따라서 구하는 부피는 $\displaystyle V_1$에서 반지름이 $\displaystyle b$인 구의 부피를 빼면 되므로,$\displaystyle V=\frac\pi3(3ah^2-h^3-4b^3)$이다.따라서 (1)과 (2)에 의해서 높이 $\displaystyle h$까지 용기에 담긴 물의 부피는 다음과 같다.$\displaystyle V=\begin{cases}\pi(a-b)h^2&(0\le h\le2b)\\\frac\pi3(3ah^2-h^3-4b^3)&(2b\le h\le a)\end{cases}$