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자연계열 2번

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인하대 2010학년도 모의 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2010mo_1/jayeon_2

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【문항 3 : 물리+수학】[50점]※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 질량중심은 물체 전체의 질량의 중심점으로 전체 질량이 질량중심에 있는 것처럼 외부 계와 작용한다.

(나) 예를 들어, 직선 위에 질량이 m\displaystyle m으로 같은 두 물체가 x1,x2\displaystyle x_1,x_2에 놓여 있다고 하자. 이들 두 물체는 x1\displaystyle x_1과 x2\displaystyle x_2의 중간 지점인 x1+x22\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}에 질량이 2m\displaystyle 2m이 있는 것처럼 외부 계와 작용한다. 만일, 질량이 m1,m2\displaystyle m_1,m_2로 서로 다른 물체가 각각 x1,x2\displaystyle x_1,x_2에 놓여 있으면, 질량이 m1+m2\displaystyle m_1+m_2인 물체가 질량 중심에 있는 것처럼 외부 계와 작용한다. 이런 경우 질량 중심은 어떻게 계산을 할까? 이것은 가중치를 갖는 평균으로 생각하여 구할 수 있다. 점 x1\displaystyle x_1에는 m1m1+m2\displaystyle \frac{m_1}{m_1+m_2}의 가중치를 주고, 점 x2\displaystyle x_2에는 m2m1+m2\displaystyle \frac{m_2}{m_1+m_2}의 가중치를 주어 질량 중심은 m1m1+m2x1+m2m1+m2x2=m1x1+m2x2m1+m2\displaystyle \frac{m_1}{m_1+m_2}x_1+\frac{m_2}{m_1+m_2}x_2=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}로 계산할 수 있다. 특히, 질량이 m1=m2\displaystyle m_1=m_2의 경우, 질량 중심은 x1+x22\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}으로 앞에서 언급한 것과 같다. 일반적으로, 좌표공간에서 점 (xk,yk,zk) (k=1,2,⋯ ,n)\displaystyle (x_k,y_k,z_k)\ (k=1,2,\cdots,n)에 각각 질량이 mk\displaystyle m_k인 물체가 놓여 있을 경우, 이들의 질량중심은 아래와 같다.(x1m1+x2m2+⋯+xnmnm1+m2+⋯+mn,y1m1+y2m2+⋯+ynmnm1+m2+⋯+mn,z1m1+z2m2+⋯+znmnm1+m2+⋯+mn)\displaystyle \left(\frac{x_1m_1+x_2m_2+\cdots+x_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n},\frac{y_1m_1+y_2m_2+\cdots+y_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n},\frac{z_1m_1+z_2m_2+\cdots+z_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\right)

(다) 질량이 연속적으로 분포되어 있는 물체의 질량중심 (xˉ,yˉ,zˉ)\displaystyle (\bar x,\bar y,\bar z)은 구분 구적법에 의한 부피 계산과 같은 방법을 응용하여 적분을 이용하여 구한다. 예를 들어 균일한 밀도 ρ\displaystyle \rho를 가지고 x\displaystyle x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 A(x)\displaystyle A(x)인 연속체의 x\displaystyle x방향의 질량중심 xˉ\displaystyle \bar x는 다음과 같이 구한다. 그림과 같이 x\displaystyle x축 위의 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]를 n\displaystyle n등분하여 양 끝점과 등분점의 x\displaystyle x좌표를 각각a=x0,x1,x2,⋯ ,xn−1,xn=b\displaystyle a=x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n=b라 하고, 각 부분 구간의 길이를 Δx=b−an\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}라 하자. 이때 밑면의 넓이 A(xk)\displaystyle A(x_k), 높이가 Δx\displaystyle \Delta x인 원기둥의 부피는 A(xk)Δx\displaystyle A(x_k)\Delta x이므로, 질량은 ρA(xk)Δx\displaystyle \rho A(x_k)\Delta x이다. 또한, 가중치를 적용한 좌표는 ρxkA(xk)Δx\displaystyle \rho x_kA(x_k)\Delta x이다. 따라서 질량중심의 x\displaystyle x좌표 xˉ\displaystyle \bar x는∑k=1nρxkA(xk)Δx∑k=1nρA(xk)Δx\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^n\rho x_kA(x_k)\Delta x}{\sum_{k=1}^n\rho A(x_k)\Delta x}으로 근사되며, Δx→0\displaystyle \Delta x\to0에 따른 극한을 취하여 다음을 구할 수 있다.xˉ=∫abρxA(x) dx∫abρA(x) dx\displaystyle \bar x=\frac{\int_a^b\rho xA(x)\,dx}{\int_a^b\rho A(x)\,dx}

단면적 A(x)를 이용한 연속체의 질량중심 계산

※ 반지름이 a\displaystyle a인 속이 비어 있는 반구 안에 반지름이 b\displaystyle b인 속이 꽉 찬 구가 아래 그림과 같이 들어 있다 (단, 0<2b<a\displaystyle 0<2b<a).

반구 바닥에 접하는 구와 높이 h까지 채워진 물

[문제 2] 이 용기에 물이 가득 들어 있을 때, 용기에 담긴 물의 질량중심의 높이를 구하시오. (단, 물의 밀도는 상수 ρ\displaystyle \rho이다.)

해설강의 준비중

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[문제 2] 밀도(ρ\displaystyle \rho)가 상수이므로, 용기에 가득 담긴 물의 질량은M=∫0aρA(z) dz=ρ∫0aA(z) dz=2π3ρ(a3−2b3)\displaystyle M=\int_0^a\rho A(z)\,dz=\rho\int_0^a A(z)\,dz=\frac{2\pi}3\rho(a^3-2b^3)이다. 한편∫0azA(z) dz=∫02bzA(z) dz+∫2bazA(z) dz=∫02b2π(a−b)z2 dz+∫2baπ(2az2−z3) dz=2πa∫0az2 dz−2πb∫02bz2 dz−π∫2baz3 dz=2π3a4−16π3b4−π4a4+4πb4=5π12a4−4π3b4\displaystyle \begin{aligned}\int_0^a zA(z)\,dz&=\int_0^{2b}zA(z)\,dz+\int_{2b}^a zA(z)\,dz\\&=\int_0^{2b}2\pi(a-b)z^2\,dz+\int_{2b}^a\pi(2az^2-z^3)\,dz\\&=2\pi a\int_0^a z^2\,dz-2\pi b\int_0^{2b}z^2\,dz-\pi\int_{2b}^a z^3\,dz\\&=\frac{2\pi}3a^4-\frac{16\pi}3b^4-\frac\pi4a^4+4\pi b^4\\&=\frac{5\pi}{12}a^4-\frac{4\pi}3b^4\end{aligned}이므로 ∫0aρzA(z) dz=ρπ12(5a4−16b4)\displaystyle \int_0^a\rho zA(z)\,dz=\rho\frac\pi{12}(5a^4-16b^4)이다. 따라서 질량중심의 z\displaystyle z좌표 zˉ\displaystyle \bar z는zˉ=∫0aρzA(z) dz∫0aρA(z) dz=5a4−16b48(a3−2b3)\displaystyle \bar z=\frac{\int_0^a\rho zA(z)\,dz}{\int_0^a\rho A(z)\,dz}=\frac{5a^4-16b^4}{8(a^3-2b^3)}이다.

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