자연계열 1번

(1) 수평으로 던진 물체는 $\displaystyle x$축 방향으로는 등속 운동을 $\displaystyle y$축 방향으로는 등가속도 운동을 하므로 $\displaystyle x,y$의 위치는$\displaystyle x=v_0t,\quad y=-\frac12gt^2+h=-5t^2+10$이다. 이때, $\displaystyle t$를 소거하면, 경사면에 부딪히기 전의 물체의 궤적인 포물선$\displaystyle y=-\frac5{v_0^2}x^2+10$을 구할 수 있다. 경사면의 식은 $\displaystyle y=\frac1{\sqrt2}x$이므로 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\frac5{v_0^2}x^2+10=\frac1{\sqrt2}x$으로부터 $\displaystyle x_0=\frac{-v_0^2+v_0\sqrt{v_0^2+400}}{10\sqrt2}$이다. 한편, 포물선의 도함수는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{10}{v_0^2}x$이므로, 교점에서 포물선의 접선의 기울기는 다음으로 주어진다.$\displaystyle -\frac{10}{v_0^2}\left(\frac{-v_0^2+v_0\sqrt{v_0^2+400}}{10\sqrt2}\right)=\frac{1-\frac1{v_0}\sqrt{v_0^2+400}}{\sqrt2}$

(2) 아래 그림과 같이 경사면과 수직인 직선이 $\displaystyle x$축과 만나는 각도를 $\displaystyle \theta_c$, 교점에서 포물선에 접하는 직선이 $\displaystyle x$축과 만나는 각도를 $\displaystyle \theta_0$라 하면,$\displaystyle \tan\theta_c=-\sqrt2,\quad\tan\theta_0=\frac{1-\frac1{v_0}\sqrt{v_0^2+400}}{\sqrt2}$이다.입사각을 $\displaystyle \theta$라 하면, $\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_0-\theta_c)=\frac{\tan\theta_0-\tan\theta_c}{1+\tan\theta_0\tan\theta_c}$이므로,$\displaystyle \tan\theta=\frac{3v_0-\sqrt{v_0^2+400}}{\sqrt2\sqrt{v_0^2+400}}$Comment. $\displaystyle 0<v_0<5\sqrt2$이면 원문의 식은 음수가 된다. 입사각은 법선과 이루는 음이 아닌 각이므로, 일반적인 식은 $\displaystyle \tan\theta=\frac{|3v_0-\sqrt{v_0^2+400}|}{\sqrt2\sqrt{v_0^2+400}}$이다. 연직 위로 반사되는 경우의 답 $\displaystyle v_0=8\sqrt5$는 달라지지 않는다. 원문의 식은 수록 원칙에 따라 그대로 실었다.이다. 충돌 후 수직으로 움직이려면, 아래 그림과 같이 $\displaystyle \theta=\theta_c-\frac\pi2$일 때이므로, $\displaystyle \tan\theta=\frac1{\sqrt2}$이다. 따라서$\displaystyle \frac{3v_0-\sqrt{v_0^2+400}}{\sqrt2\sqrt{v_0^2+400}}=\frac1{\sqrt2}$에서 $\displaystyle v_0=8\sqrt5$이다.