자연계열 2번

(1) 도선 전체의 총 저항을 구하기 위해서는 도선의 단면적이 위치에 따라 다르기 때문에 다음의 적분값을 구해야 한다.$\displaystyle R=\rho\int_{x=0}^{x=L}\frac1{S(x)}\,dx,$여기서 $\displaystyle S(x)$는 도선의 시작부분으로부터 $\displaystyle x$만큼 떨어진 위치에서의 단면의 면적이며, 단면이 타원이기 때문에 타원의 단축 길이를 $\displaystyle 2a(x)$, 장축 길이를 $\displaystyle 2b(x)$이라 하면 제시문 (마)에서 주어진 식에 따라 다음과 같다:$\displaystyle S(x)=\pi a(x)b(x).$단축 및 장축 반지름이 위치에 일정하게 변한다는 사실과 초기 조건으로부터 다음을 구할 수 있다:$\displaystyle a(x)=\frac{c-a}Lx+a$$\displaystyle b(x)=\frac{d-b}Lx+b$즉, 도선 전체의 총 저항 $\displaystyle R$은$\displaystyle R=\int_{x=0}^{x=100}\frac{dx}{\left(\frac{3-1}{100}x+1\right)\left(\frac{3-2}{100}x+2\right)}$으로 주어진다. 적분값을 구하기 위해서는 적분함수를 부분분수로 나타내는 것이 편리할 것이다. 즉,$\displaystyle \begin{aligned}R&=\int_{x=0}^{x=100}\frac{dx}{(0.02x+1)(0.01x+2)}\\&=\int_0^{100}\left(\frac{2/3}{0.02x+1}-\frac{1/3}{0.01x+2}\right)dx\\&=\left.\left\{\frac{100}3\ln(0.02x+1)-\frac{100}3\ln(0.01x+2)\right\}\right|_0^{100}\\&=\left.\frac{100}3\ln\frac{0.02x+1}{0.01x+2}\right|_0^{100}\\&=\frac{100}3\left(\ln\frac33-\ln\frac12\right)=\frac{100}3\ln2\end{aligned}$또는$\displaystyle \begin{aligned}R&=\int_{x=0}^{x=100}\frac{dx}{\left(\frac{x}{50}+1\right)\left(\frac{x}{100}+2\right)}=\int_{x=0}^{x=100}\frac{5000\,dx}{(x+50)(x+200)}\\&=\frac{5000}{150}\int_0^{100}\left(\frac1{x+50}-\frac1{x+200}\right)dx\\&=\left.\frac{100}3\{\ln(x+50)-\ln(x+200)\}\right|_0^{100}\\&=\left.\frac{100}3\ln\frac{x+50}{x+200}\right|_0^{100}\\&=\frac{100}3\left(\ln\frac{150}{300}-\ln\frac{50}{200}\right)=\frac{100}3\left(\ln\frac12-\ln\frac14\right)=\frac{100}3\ln2\end{aligned}$

(2) 도선 전체 길이를 둘로 나누어 구한 두 저항에 의한 총 소비전력이 최소가 되기 위해서는 두 저항의 합성저항이 최대가 되어야 한다. 제시문 (나)에 의하면, 두 저항이 동일하게 본래의 저항의 1/2이 될 때, 두 저항의 병렬연결의 합성저항이 최대가 되게 된다. 이 결과를 이용하여, 도선을 둘로 나눈 후, 짧은 길이를 $\displaystyle y$라 할 때, 짧은 도선의 총 저항이 도선 전체의 총 저항값의 1/2이 되는 $\displaystyle y$의 값을 구하면 된다. 즉, 식으로 표현하면 다음과 같다:$\displaystyle \int_{x=0}^{x=y}\frac{dx}{\left(\frac{x}{50}+1\right)\left(\frac{x}{100}+2\right)}=\frac12\frac{100}3\ln2$위 식을 풀면 다음과 같다:$\displaystyle \int_{x=0}^{x=y}\frac{dx}{\left(\frac{x}{50}+1\right)\left(\frac{x}{100}+2\right)}=\frac12\frac{100}3\ln2$$\displaystyle \left.\frac{100}3\ln\frac{x+50}{x+200}\right|_0^y=\frac12\frac{100}3\ln2$$\displaystyle \ln\frac{y+50}{y+200}-\ln\frac{50}{200}=\frac12\ln2$$\displaystyle \frac{4(y+50)}{y+200}=\sqrt2,\quad4(y+50)=\sqrt2(y+200)$$\displaystyle y=\frac{200(\sqrt2-1)}{4-\sqrt2}=\frac{100(3\sqrt2-2)}7\approx32,$다른 도선의 길이는 약 $\displaystyle 100-32=68\,\mathrm{mm}$이므로, 답은 $\displaystyle \frac{100(3\sqrt2-2)}7\,\mathrm{mm}$ (약 $\displaystyle 32\,\mathrm{mm}$)이다.