자연계열 1번

(1) $\displaystyle F(t)=-kt^2(t-t_0)$를 시각 $\displaystyle t$로 미분하여 $\displaystyle 0$으로 놓으면$\displaystyle \frac d{dt}F(t)=-2kt(t-t_0)-kt^2=-kt(3t-2t_0)=0$이다. $\displaystyle t=\frac23t_0$의 좌우에서 $\displaystyle \frac d{dt}F(t)$의 값이 양에서 음으로 바뀌므로 $\displaystyle t=\frac23t_0$에서 극댓값 $\displaystyle F_0$를 갖는다. 따라서 $\displaystyle F_0=F\left(\frac23t_0\right)=-k\left(\frac23t_0\right)^2\left(\frac23t_0-t_0\right)=\frac4{27}kt_0^3$으로부터 $\displaystyle k=\frac{27}{4t_0^3}F_0$이다.그리고 $\displaystyle F(t)=-\frac{27F_0}{4t_0^3}t^2(t-t_0)$이다. 힘의 크기가 일정하지 않고 시각 $\displaystyle t$의 함수이므로 제시문 (다)에 의해서 총 충격량은$\displaystyle \int_0^{t_0}F(t)\,dt=-\frac{27F_0}{4t_0^3}\int_0^{t_0}(t^3-t_0t^2)\,dt=\left(-\frac{27F_0}{4t_0^3}\right)\left(\frac14t_0^4-\frac13t_0^4\right)=\frac9{16}F_0t_0$이다.

(2) 제시문 (나)에 의해 충격량은 운동량의 변화와 같으므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \frac9{16}F_0t_0=m(v-v_0)=mv-mv_0$따라서 날아가는 속도 $\displaystyle v$는$\displaystyle v=v_0+\frac9{16m}F_0t_0$Caution. 속도와 속력을 구별해야 한다: 이 식의 $\displaystyle v_0$와 $\displaystyle v$는 방향에 따라 부호가 달라지는 속도이다. 공이 방망이에 맞고 나가는 방향을 양의 방향으로 정하면, 들어오는 공의 속도는 $\displaystyle v_0<0$, 나가는 공의 속도는 $\displaystyle v>0$이다. 따라서 충격량 $\displaystyle m(v-v_0)=\frac9{16}F_0t_0$에서 $\displaystyle v=v_0+\frac{9F_0t_0}{16m}$을 얻는다. 여기서 $\displaystyle v_0$를 더한다는 것은 들어오는 공의 속력을 더한다는 뜻이 아니다.이다.

(3) 문제 (1)에서 평균충격력은 $\displaystyle \frac1{t_0}\int_0^{t_0}F(t)\,dt=\frac9{16}F_0$가 된다. 공을 던지는 방법을 바꾸어서 힘이 $\displaystyle G(t)=A\sin^2(10\pi t),\ \left(0\le t\le\frac1{10}\right)$으로 주어졌을 때의 평균충격력은$\displaystyle 10\int_0^{\frac1{10}}A\sin^2(10\pi t)\,dt=10A\int_0^{\frac1{10}}\frac{1-\cos20\pi t}2\,dt=\frac A2$가 된다. 따라서 $\displaystyle \frac A2=\frac9{16}F_0$로부터 $\displaystyle A=\frac98F_0$가 된다.