자연계열 2번

(1) 점프대에서부터의 거리가 $\displaystyle L$인 위치까지 낙하하는 동안에는 탄성력이 작용하지 않으므로 중력에 의한 위치 에너지와 운동 에너지만 고려하면 된다. 점프대에서의 역학적 에너지는 위치 에너지인 $\displaystyle mgH$만 있고, 점프대에서부터의 거리가 $\displaystyle L$인 위치까지 낙하했을 때의 속력을 $\displaystyle v_1$이라 하면 이때의 역학적 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합인 $\displaystyle \frac12mv_1^2+mg(H-L)$이다. 역학적 에너지 보존의 법칙에 의해 $\displaystyle mgH=\frac12mv_1^2+mg(H-L)$, 따라서 $\displaystyle v_1=\sqrt{2gL}$이다.

(2) 낙하를 시작하여 점프대로부터 $\displaystyle L$인 위치까지는 중력 $\displaystyle mg$에 의한 등가속도 운동을 하여 속력이 증가하고 줄이 늘어나기 시작하면 탄성력 $\displaystyle -kx$가 작용하여 ($\displaystyle x$는 줄이 늘어난 길이) 탄성력의 크기가 중력보다 커지면 속력이 줄어들게 된다. (즉, $\displaystyle kx=mg$일 때 속력이 최대가 된다). 줄이 $\displaystyle x$만큼 늘어났을 때의 속력을 $\displaystyle v$라 하면 이때의 총 역학적 에너지는 운동 에너지 $\displaystyle \frac12mv^2$, 중력에 의한 위치 에너지 $\displaystyle mg(H-L-x)$ 그리고 탄성력에 의한 위치 에너지 $\displaystyle \frac12kx^2$의 합이 된다. 따라서 역학적 에너지 보존의 법칙에 의해 $\displaystyle mgH=\frac12mv^2+mg(H-L-x)+\frac12kx^2$, 따라서 $\displaystyle v^2=-\frac kmx^2+2g(L+x)$. 그러므로 $\displaystyle x=\frac{mg}k$일 때 $\displaystyle v^2$은 최대가 되고 $\displaystyle v$의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{2gL+\frac{mg^2}k}$가 된다.

(3) 수면에 가장 가까운 지점까지 낙하하여 정지했을 때는 운동 에너지가 $\displaystyle 0$이 되므로 이때의 총 역학적 에너지는 중력에 의한 위치 에너지 $\displaystyle mg(H-L-x)$과 탄성력에 의한 위치 에너지 $\displaystyle \frac12kx^2$의 합이 된다. 역학적 에너지 보존의 법칙에 의해$\displaystyle mgH=mg(H-L-x)+\frac12kx^2$이다. 이것은 $\displaystyle x$에 관한 2차 방정식이고 그 해는 $\displaystyle \frac{mg+\sqrt{m^2g^2+2kmgL}}k$이다. (여기서 또 다른 해인 $\displaystyle \frac{mg-\sqrt{m^2g^2+2kmgL}}k$는 음의 값으로 용수철과 같이 수축 변형이 일어나는 경우이므로 허근이 된다.)Correction. 여기서 제외한 값은 허수가 아니라 음의 실근이다. 줄이 늘어난 길이 $\displaystyle x$는 음이 아니어야 하므로 이 문제의 해에서 제외한다. 그러나 원문의 ‘허근’이라는 표현은 수록 원칙에 따라 그대로 실었다.