자연계열 2번

(가) 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 자연로그함수 $\displaystyle \ln x$는 다음과 같이 정의한다.$\displaystyle \ln x=\int_1^x\frac1t\,dt\quad(x>0)$$\displaystyle x>1$일 때 $\displaystyle \ln x$는 [그림 1]과 같이 구간 $\displaystyle [1,x]$에서 함수 $\displaystyle f(t)=\frac1t$의 그래프와 $\displaystyle t$-축 사이의 영역의 넓이를 뜻한다. 한편, $\displaystyle 0<x<1$이면 $\displaystyle \ln x=-\int_x^1\frac1t\,dt$는 구간 $\displaystyle [x,1]$에서 함수 $\displaystyle f(t)=\frac1t$의 그래프와 $\displaystyle t$-축 사이의 영역의 넓이에 마이너스($\displaystyle -$) 부호를 붙인 값과 같다. 이로부터 $\displaystyle x>1$이면 $\displaystyle \ln x>0$이고, $\displaystyle 0<x<1$이면 $\displaystyle \ln x<0$임을 알 수 있다. 또, $\displaystyle \ln1=0$임은 당연하다.

(나) 함수의 그래프 아래의 넓이와 미분과의 관계를 함수 $\displaystyle f(t)=5-t^2$의 예를 통해 알아보자. [그림 2]와 같이 임의의 수 $\displaystyle x(>a)$에 대해, $\displaystyle a$에서 $\displaystyle x$까지 $\displaystyle f(t)$의 그래프 아래의 넓이를 $\displaystyle S(x)$라 하자. 이때 $\displaystyle x$의 증분 $\displaystyle \Delta x(>0)$에 대한 $\displaystyle S(x)$의 증분을 $\displaystyle \Delta S$라 하면 $\displaystyle \Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)$이다. 그런데 [그림 2]에서 구간 $\displaystyle [x,x+\Delta x]$ 사이의 빗금 친 부분은 밑변의 길이가 $\displaystyle \Delta x$, 높이가 $\displaystyle f(x)$인 직사각형에 포함되고, 높이가 $\displaystyle f(x+\Delta x)$인 직사각형을 포함하므로 부등식 $\displaystyle (5-(x+\Delta x)^2)\Delta x<\Delta S<(5-x^2)\Delta x$이 성립한다. 이 부등식의 각 항을 $\displaystyle \Delta x$로 나누면$\displaystyle (5-(x+\Delta x)^2)<\frac{\Delta S}{\Delta x}<(5-x^2)$이고, 극한 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}(5-(x+\Delta x)^2)=5-x^2$으로부터 $\displaystyle \frac d{dx}S(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta S}{\Delta x}=5-x^2=f(x)$이 된다. 즉$\displaystyle \frac d{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$이다.

(다) [그림 3]은 물체에 작용하는 힘의 크기가 변할 때 이동 거리와 힘의 관계 그래프를 나타낸이다. 이 경우 이동하는 데 필요한 일 $\displaystyle W$을 구하려면 이동 거리를 매우 작은 구간 $\displaystyle \Delta x$로 나누고 각 구간마다 힘이 한 일 ($\displaystyle =F\Delta x$)을 구한 다음, 작은 직사각형의 넓이를 모두 더하면 물체가 이동하는 데 한 일이 계산된다. 결국 이동 거리를 무한히 많은 구간으로 나누면 그래프 아래 면적이 한 일이 된다. 따라서 물체를 거리 $\displaystyle x=x_1$에서 $\displaystyle x=x_2$까지 이동시키는 데 필요한 일의 양은$\displaystyle W=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,dx$과 같이 힘을 거리에 대해 적분함으로써 구해낼 수 있다.

(라) 1820년까지 사람들은 전기와 자기는 전혀 다른 별개의 현상으로 생각하였다. 덴마크의 외르스테드에 의해 전류가 흐르는 도선 주위에는 자기장이 생긴다는 사실이 밝혀졌다. 전류가 흐르는 무한히 긴 직선 도선으로부터 거리 $\displaystyle r$ (m)만큼 떨어져 있는 점에서의 자기장의 세기 $\displaystyle B$는 도선에 흐르는 전류의 세기 $\displaystyle I$ (A)에 비례하며, 도선으로부터의 수직 거리 $\displaystyle r$에 반비례한다. 즉, $\displaystyle B=k\frac Ir$가 된다. 단위로는 테슬라(T), 또는 $\displaystyle \mathrm{N}/\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}$을 사용한다. 여기서 $\displaystyle k$는 비례 상수로 $\displaystyle 2\times10^{-7}$ $\displaystyle (\mathrm{N}/\mathrm{A}^2)$의 값을 갖는다. 그리고 이 자기장의 방향은 앙페르의 오른손 법칙에 의해 결정되는데 전류가 흐르는 도선을 [그림 4]와 같이 오른손 엄지손가락이 전류의 방향을 가리키도록 도선을 감아쥐면, 다른 네 손가락의 방향이 자기장의 방향을 나타낸다.

(마) 자기장 속에 있는 도선에 전류가 흐르면 도선은 자기장으로부터 힘을 받는다. 전류가 흐르는 도선이 자기장과 수직할 때 도선이 받는 자기력 $\displaystyle F$는 전류의 세기 $\displaystyle I$와 자기장의 세기 $\displaystyle B$에 비례하며, 자기장 속에 들어 있는 도선의 길이 $\displaystyle l$ (m)에 비례한다. 따라서 $\displaystyle F=BIl$ (N)이 된다. 그리고 이 자기력의 방향은 플레밍의 왼손 법칙으로 설명이 가능한데, [그림 5]와 같이 집게손가락이 자기장의 방향을 가리키고 중지가 전류의 방향을 가리킬 때 엄지가 가리키는 방향이 자기력의 방향이 된다.