자연계열 2번

[문제 2] 함수 $\displaystyle y=\frac1x$의 도함수는 $\displaystyle \frac d{dx}y=-\frac1{x^2}$이므로 점 $\displaystyle P\left(t,\frac1t\right)$에서 접선의 방정식은$\displaystyle y=-\frac1{t^2}(x-t)+\frac1t$ ⋯ ①이다. 오른쪽 그림과 같이 접선 ①의 $\displaystyle x$-절편 $\displaystyle S$와 $\displaystyle y$-절편 $\displaystyle Q$는 $\displaystyle S(2t,0),Q\left(0,\frac2t\right)$이다. 또한 등식 $\displaystyle \frac2t=\frac1x$으로부터 점 $\displaystyle R$의 $\displaystyle x$-좌표는 $\displaystyle x=\frac t2$이므로 $\displaystyle R\left(\frac t2,\frac2t\right)$이다. $\displaystyle R$에서 $\displaystyle x$-축에 내린 수선이 접선 ①과 만나는 점을 $\displaystyle U$, $\displaystyle x$-축과 만나는 점을 $\displaystyle V$라 하면 접선 ①에 $\displaystyle x=\frac t2$를 대입하여 $\displaystyle U\left(\frac t2,\frac3{2t}\right)$을 얻는다. $\displaystyle P$에서 $\displaystyle x$-축에 내린 수선이 $\displaystyle x$-축과 만나는 점을 $\displaystyle W$라 하고 오른쪽 그림으로부터 넓이 $\displaystyle Q,R,P$를 잇는 직선으로 둘러싸인 넓이 $\displaystyle S_1$과 $\displaystyle P,S,T$를 잇는 직선으로 둘러싸인 넓이 $\displaystyle S_2$를 구해보면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}S_1&=\triangle QRU+\int_{t/2}^t\frac1x\,dx-(\text{등변사다리 }PUVW)\\&=\frac12\frac t2\left(\frac2t-\frac3{2t}\right)+\Biggl[\ln x\Biggr]_{t/2}^t-\frac12\left(\frac3{2t}+\frac1t\right)\frac t2=\frac t4\frac1{2t}+\ln t-\ln(t/2)-\frac t4\frac5{2t}\\&=\frac18+\ln2-\frac58=\ln2-\frac12\end{aligned}$Correction. 두 영역의 경계에는 직선뿐 아니라 쌍곡선의 일부가 포함되어 있으므로, 답안의 ‘직선으로 둘러싸인’은 ‘선으로 둘러싸인’으로 읽어야 한다. 또한 $\displaystyle PUVW$는 등변사다리꼴이 아니라 직각사다리꼴이다. 넓이 계산은 일반적인 사다리꼴의 넓이 공식을 바르게 적용했다. 원문은 수록 원칙에 따라 그대로 실었다.이고$\displaystyle S_2=\int_t^{2t}\frac1x\,dx-\triangle PWS=\Biggl[\ln x\Biggr]_t^{2t}-\frac12\frac1t t=\ln2t-\ln t-\frac12=\ln2-\frac12$이다. 따라서 $\displaystyle S_1=S_2$이다.