자연계열 3번

[문제 3] 직사각형 도선이 받는 알짜 힘의 크기와 방향을 구하기 위해서는 직사각형의 각 변이 받는 힘들의 합력을 구하면 된다.

(i) 직사각형 도선의 상변이 받는 힘의 방향을 구해보면, 자기장의 방향이 지면으로 들어가는 방향이고 전류의 방향이 오른쪽이므로 제시문 (마)에서 주어진 플레밍의 왼손법칙에 의해 힘의 방향이 위쪽방향임을 알 수 있다. 그리고 하변이 받는 힘은 자기장의 방향은 동일하고 전류의 방향만 바뀌므로 힘의 방향은 아래쪽 방향이 된다. 상변과 하변은 직선 도선으로부터 떨어진 거리가 동일하여 힘의 크기는 같고 방향은 반대가 되어 두 힘은 서로 상쇄된다.

(ii) 직사각형 도선의 좌변과 우변이 받는 힘도 좌변은 왼쪽으로 우변은 오른쪽으로 힘을 받아 방향이 반대이나 가까운 거리에 있는 좌변이 받는 힘의 크기가 더 크다. 따라서 직사각형 도선에 작용하는 알짜 힘의 방향은 왼쪽이다. 좌변의 자기장의 크기는 직선 도선으로부터 떨어진 거리가 $\displaystyle x$ (m)이므로 제시문 (라)에 의해 $\displaystyle B_{\text{좌변}}=k\frac{I_1}x=2\times10^{-7}\times\frac5x=\frac{10^{-6}}x$ (T)이 된다. 마찬가지로, 우변의 자기장의 크기는 직선 도선으로부터 떨어진 거리가 $\displaystyle x+3$ (m)이므로 $\displaystyle B_{\text{우변}}=\frac{10^{-6}}{x+3}$ (T)이다. 따라서 알짜 힘은 제시문 (마)에 의해$\displaystyle \begin{aligned}F(x)&=B_{\text{좌변}}\times I_2\times\text{세로의 길이}-B_{\text{우변}}\times I_2\times\text{세로의 길이}\\&=\frac{10^{-6}}x\times2\times5-\frac{10^{-6}}{x+3}\times2\times5=10^{-5}\left(\frac1x-\frac1{x+3}\right)\end{aligned}$가 된다. 제시문 (다)에 주어진 바와 같이 직사각형 도선에 작용하는 힘과 같은 크기로 외력을 반대방향으로 작용하여 $\displaystyle x=1$ (m)에 있는 직사각형 도선을 $\displaystyle x=2$ (m)까지 옮기는 데 외부에 해주어야하는 일은 $\displaystyle W=\int_1^2F(x)\,dx$으로 계산할 수 있다.$\displaystyle W=\int_1^2F(x)\,dx=10^{-5}\int_1^2\left(\frac1x-\frac1{x+3}\right)dx=10^{-5}\times\ln\frac85$ (J)